Luchando con otra prueba:
Demostrar que, para cualquier entero positivo n: (a + b)n >= an + bn para todo a, b > 0:
He perdido 3 páginas de papel de cuaderno en este problema, y yo voy a llegar a ningún lado lentamente. Así que necesito algunos consejos.
Sugerencia: Utilice el teorema del binomio.
Esto indica que $(a + b)^n = \sum \limits_{k = 0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k = a^n + b^n + \sum \limits_{k=1}^{n-1} {n \choose k} a^{n-k} b^k$.
Ahora, tenga en cuenta que cada término en la segunda suma es positiva; esto es debido a que a, b, y los coeficientes binomiales son todas positivas. Por lo tanto, (a+b)n = an + bn + (suma de términos positivos) >= an + bn.
De esta manera se sigue directamente del teorema del binomio. Alternativamente, usted puede probarlo de forma inductiva (que es probablemente la más divertida): supongamos que la desigualdad verdadera para $n-1$. A continuación, $(a+b)^n = (a+b)(a+b)^{n-1} \geq (a+b)(a^{n-1} + b^{n-1})$ por la hipótesis inductiva. Por lo $(a+b)^n \geq a(a^{n-1}+ b^{n-1}) + b(b^{n-1} + a^{n-1})$, y esta es, al menos,$a^n + b^n$.
También puede ser útil para pensar un poco acerca de la geometría de la desigualdad.
Para $n=2$, encontrar una manera de poner un $a \times a$ cuadrado y un $b \times b$ plaza en un $(a+b) \times (a+b)$ plaza sin ningún tipo de se superpone. Para $n=3$, a ver si usted puede caber una $a \times a \times a$ cubo y un $b \times b \times b$ cubo dentro de un $(a+b) \times (a+b) \times (a+b)$ cubo sin superposiciones.
Luego, la noción de tener más de tres dimensiones puede parecer un poco raro, pero creo que de la caja en $n$ dimensiones, cuyos lados tienen longitud $a+b$. Puedes meter dos cajas dentro de ella, uno con lado de longitud $a$ y uno con lado de longitud $b$?
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