A partir de la lagrangiana (lineal sigma modelo sin ruptura de la simetría, en este caso $N$ es el nucleón doblete y $\tau_a$ son las matrices de pauli)
$L=\bar Ni\gamma^\mu \partial_\mu N+ \frac{1}{2} \partial_\mu\sigma\partial^\mu\sigma+\frac{1}{2}\partial_\mu\pi_a\partial^\mu\pi_a+g\bar N(\sigma+i\gamma_5\pi_a \tau_a)N$
podemos construir conservado corrientes utilizando el Teorema de Noether aplicado a $SU(2)_L\otimes SU(2)_R$ simetría: tenemos tres corrientes para cada $SU(2)$.
Sumando y restando ellos, obtenemos el vector axial y corrientes.
Nos podría haber obtenido el vector de cargas rápidamente por la observación de que son isospin cargos, por lo que los nucleones se comportan como un $SU(2)$ doblete (fundamental
la representación), pions como una terna (adjunto de la representación) y sigma como un singlete (así que, básicamente, no transforma a):
$V_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}N+\dot\pi_b(-i\epsilon_{abc})\pi_c]$
Pero si yo quería hacer lo mismo con axial cargos, qué Mentira álgebra/representación debo utilizar para pions y sigma?
Quiero decir, axial cargos son
$A_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}\gamma_5N+i(\sigma\dot\pi_a-\dot\sigma\pi_a)]$
y me gustaría reproducir el segundo término por medio de una representación de la Mentira álgebra generadores de simetría axial que actúan en $\sigma$$\pi$, pero no sé el álgebra (creo que es $SU(2)$), ni la representación de usar.
Traté de reproducir esa forma el uso de las tres matrices
$T^1=\begin{bmatrix} 0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^2=\begin{bmatrix} 0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0 \end{bmatrix}$
que deben actuar en el vector $(\sigma,\pi_1,\pi_2,\pi_3)$, pero he calculado su conmutador y no forman un álgebra, así que creo que me estoy poniendo malo en algún lugar de mi razonamiento.
