Usted ha puesto el dedo en el quid de la cuestión, y, de hecho, el resultado es bastante obvio, pero la lógica parece un poco apagado. El método descrito a continuación utiliza en varias ocasiones los logaritmos y la diferenciación de que el problema sea progresivamente más simple, hasta que se convierte en absolutamente trivial.
Por definición, $f$ es el PDF para un aumento exponencial de la familia cuando su logaritmo puede ser escrita como una suma de algo en términos del parámetro ( $a$ ), algo más en términos de los datos ( $y$ ), y algo más, que es un producto de una función de $a$ y una función de $y$. Esto significa que usted es libre de ignorar todos los factores que claramente depende sólo del parámetro o sólo en los datos. En este caso es obvio $\frac{4}{1+4a}$ sólo depende de $a$, por lo que podemos ignorar.
El problema es con $y+a$. Tenemos que demostrar que no puede existir "agradable" funciones " $\eta$ $T$ tal que $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$, además de algunas de las funciones de $a$ solo, junto con alguna otra función de $y$ solo. Ese "plus" es molesto, pero te puede matar por la diferenciación de primera con respecto a $a$ (la derivada de cualquier función de $y$ solo será cero) y, a continuación, con respecto a $y$ (la derivada de una función de $a$ solo será cero). Sobre la negación de ambos lados (para hacer el lado izquierdo positivo) esto le da
$$-\frac{\partial^2}{\partial a\partial y}\log(y+a) = \frac{1}{(a+y)^2} = -\eta'(a)T'(y).$$
Quiero tomar logaritmos para simplificar el lado derecho (que, por ser igual a la de la mano izquierda, siempre es positivo). Asumiendo $\eta'$ $T'$ son continuos garantizará hay algunos intervalos de los valores de $a$ $y$ en $-\eta'(a)\gt 0$ $T'(y)\gt 0$ o de lo $\eta'(a)\gt 0$$-T'(y)\gt 0$. Esto significa que, de hecho, se puede dividir el lado derecho en dos factores positivos, permitiendo que el logaritmo a ser aplicado. Haciendo así que los rendimientos de
$$-2\log(a+y) = \log\frac{1}{(a+y)^2} = \log\left(-\eta'(a)T'(y)\right) = \log(-\eta'(a)) + \log(T'(y))$$
(o más comparable con la expresión de un par de signos menos tirado). Ahora jugamos el mismo juego: en cualquier caso, la diferenciación de ambos lados, con respecto al $a$ $y$ rendimientos
$$\frac{2}{(a+y)^2} = 0,$$
una imposibilidad.
Mirando hacia atrás, este enfoque tenía que asumir tanto $\eta$ $T$ tienen segundas derivadas en algunos intervalos de sus argumentos. El análisis se puede hacer a lo largo de las mismas líneas utilizando diferencias finitas para debilitar a aquellos supuestos, pero probablemente no vale la pena molestarse.
