Exponentes negativos en el Teorema del Binomio

Question

Estoy buscando extensiones de la fórmula binomial para potencias negativas. He descubierto cómo hacer $n \ choose k$ cuando $n < 0$ y $k \geq 0$: $${n \choose k} = (-1)^k {-n + k - 1 \choose k}$$

Entonces ahora veamos un caso para usar el coeficiente binomial: $$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k$$

¿Cómo evalúo $\sum_{k = 0}^{n}$ cuando $n < 0$? De lo que he encontrado en internet, creo que es simplemente una serie infinita, es decir, $k$ sigue incrementando para siempre. Pero eso me confunde acerca de

$$\begin{align*} (a + b)^n &= a^n(1 + \frac{b}{a})^n \\ &= a^n \left(\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\left(\frac{b}{a}\right)^k\right)\\ &= a^n \left(1 + n \left(\frac{b}{a}\right) + \frac{(n)(n-1)}{2}\left(\frac{b}{a}\right)^2 + \cdots\right) \end{align*}$$ y $$\begin{align*} (b + a)^n &= b^n\left(1 + \frac{a}{b}\right)^n\\ &= b^n \left(\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\left(\frac{a}{b}\right)^k\right)\\ &= b^n \left(1 + n \left(\frac{a}{b}\right) + \frac{(n)(n-1)}{2}\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \cdots\right) \end{align*}$$

Ahora los dos deberían ser iguales, pero en la primera suma nunca obtendría un $b^n$ y en la segunda suma nunca obtendría un $a^n$?

Answer 1

Lo siguiente es demasiado largo para un comentario, así que lo incluiré aquí, aunque no estoy seguro de que "responda" la pregunta.

Si piensas en $(1+x)^{-n}$ como viviendo en el anillo de series de potencias formales $\mathbb{Z}[[x]]$, entonces puedes mostrar que $$(1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \binom{n+k-1}{k} x^k$$ y la identidad $\binom{-n}{k} = (-1)^k \binom{n+k-1}{k}$ parece muy natural. Aquí está cómo...

Primero expande $(1+x)^{-n} = \bigg(\frac{1}{1-(-x)}\bigg)^n = (1 - x + x^2 - x^3 + \dots)^n$. Ahora, el coeficiente en $x^k$ en ese producto es simplemente el número de formas de escribir $k$ como una suma de $n$ números no negativos. Ese conjunto de sumas está en biyección con el conjunto de diagramas con $k$ estrellas y $n-1$ barras entre ellas. (Por ejemplo, supongamos que $k=9$ y $n=4$. Entonces, **|*|***|*** corresponde a la suma $9=2+1+3+3$; ****||***|** corresponde a la suma $9 = 4+0+3+2$; ****|***||** corresponde a $9=4+3+0+2$; etc.) En cada uno de estos diagramas de estrellas y barras, tenemos $n+k-1$ objetos, y elegimos qué objetos son las $k$ estrellas de $\binom{n+k-1}{k}$ formas. El término $(-1)^k$ proviene de los signos alternantes, y eso demuestra la suma.

Answer 2

Para $a=1$, la serie binomial negativa se simplifica a

$(x+1)^{-n}=1-nx+\frac1{2!}n(n+1)x^2-\frac1{3!}n(n+1)(n+2)x^3+....$