Son isométrica normativa lineal espacios isomorfos?

Question

Que debo saber la respuesta a todo esto (y me hicieron hace algún tiempo, pero se han olvidado): Si la normativa espacios lineales $X$ $Y$ son isométrica (hay un bijective mapa de $X$ $Y$que conserva las distancias), son linealmente isomorfo (hay un continuo lineal bijection de$X$$Y$, con una continua inversa)?

Answer 1

Esto es cierto para los verdaderos espacios vectoriales por el Mazur-Ulam teorema que establece que un surjective distancia-preservar el mapa de una verdadera normativa espacio a otro es un afín mapa. De hecho, si $f: X \to Y$ es un mapa, a continuación, $g(x) = f(x) - f(0)$ es lineal y en isometría. La inversa de a $g$ es de curso lineal y isométrico, demasiado, por lo que, en partiular, $X$ $Y$ son linealmente isomorfo.

Una prueba de esto, uno no puede hacer nada mejor que referirnos a Väisälä nota reciente que apareció en el mes, consulte aquí para la paywalled versión publicada. Las referencias a la obra original se dan allí.

Comentarios adicionales:

1. Un corolario de la Mazur-Ulam teorema es que el grupo de fuerza isométrica y en la auto-mapas de una verdadera normativa espacio es isomorfo a $O(X) \ltimes X$ donde $O(X)$ denota el grupo de isometrías lineales y actúa en $X$ en la forma obvia. Esto generaliza la descripción habitual de la Euclídea grupo de isometría $O(n) \ltimes \mathbb{R}^n$ muy bien.

2. Si surjectivity de $f$ se ha caído, a la conclusión de que $f$ tiene que ser afín que está mal. El ejemplo dado por Väisälä se menciona también este hilo aquí: si equipamos a $\mathbb{R}^2$ con el max-norma y tome $\phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a ser un no-lineal $1$-Lipschitz mapa, el mapa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ $f(x) = (x,\phi(x))$ es isométrica, pero no afín.

3. Isomorfo espacios de Banach que no necesita ser isométrica, como se demostró a sí mismo en este hilo.

4. Hasta donde yo sé, el caso de los complejos espacios de Banach que no tiene una buena formulación, ya que es necesario para garantizar el complejo de la linealidad con el fin de evitar tonto contraejemplos que se derivan de la compleja conjugación.

5. Finalmente, el Mazur-Ulam teorema fue mencionado en este MO hilo, donde Bill Johnson menciona una buena generalización por Figiel que muestra, en cierto sentido, que el contraejemplo en 2. es la peor posible.

6. Tangencialmente relevante es también este MO hilo sobre las nociones de isomorphisms de los espacios de Banach.