Si $a^3 + b^3 +3ab = 1$ encuentra $a+b$

Question

Dado que los números reales $a,b$ satisfacer $a^3 + b^3 +3ab = 1$ encuentra $a+b$ .

He intentado factorizarlo pero no lo he conseguido.

Answer 1

Pista: \begin{align} x^3+y^3+z^3-3xyz& =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) \\ &=(x+y+z)\left(\frac{(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2}{2}\right) \end{align}

Solución: $$0=a^3+b^3+(-1)^3-3(a)(b)(-1)=(a+b-1)\left(\frac{(a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2}{2}\right)$$ así que $a+b=1$ o $a=b=-1$ . Este último da $a+b=-2$ .

Answer 2

Hay una serie de soluciones para $$ a^3+b^3+3ab=1 $$ Supongamos que $$ x=a+b $$ entonces $$ \begin{align} 1 &=a^3+(x-a)^3+3a(x-a)\\ &=x^3-3ax^2+3a^2x+3ax-3a^2 \end{align} $$ lo que significa $$ \begin{align} 0 &=(x-1)\left(x^2+(1-3a)x+3a^2+1\right) \end{align} $$ Así que $x=1$ independientemente de $a$ o $$ x=\frac{3a-1\pm(a+1)\sqrt{-3}}{2} $$ Así, aparte de $x=1$ el único verdadero $x$ es $-2$ que procede de $a=-1$ .

Es decir, los dos únicos valores reales de $a+b$ son $1$ y $-2$ .

Answer 3

SUGERENCIA:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$$

O ver esta pregunta especialmente mi respuesta.

Answer 4

Las tres soluciones de la ecuación $a^3+b^3+3ab=1$ son

$$b_1=1-a,$$ $$b_2,b_3 = \frac{1}{2}\left(a-1\pm i\sqrt{3}(1+a)\right).$$

Si $a\neq -1$ ya que $a,b\in\mathbb{R}$ debemos tener $a+b=a+b_1=1$ . Si $a=-1$ entonces la parte imaginaria de $b_2,b_3$ desaparece y encontramos dos soluciones para $(a,b)$ : $(-1,-1)$ y $(-1,2)$ así que $a+b$ es -2 o 1 respectivamente.

Answer 5

Pista:

$$a^3+b^3+3ab=(a+b)^3-3ab(a+b)+3ab\ldots\ldots$$