Definir $$P_{n} = \frac{\log \binom{n}{0} + \log \binom{n}{1} + \dots +\log \binom{n}{n}}{n^{2}}$$ where $n = 1, 2, \dots$ and $\log$ is the natural log function. Find $$\lim_{n\to\infty} P_{n}$$ Using the property of the $\registro$, estoy pensando en encontrar el producto de todos los coeficientes binomiales. Pero se vuelve muy desordenado.
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HappyEngineer
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$$Q_n=\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k} = \frac{(n!)^{n-1}}{\left(\prod_{k=1}^{n-1} k!\right)^2}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{(k!)^2}$$
Por lo $$Q_{n+1} =\frac{(n+1)^{n-1}(n+1)!}{(n!)^2}Q_n=\frac{(n+1)^n}{n!}Q_n$$
Por lo $$\log Q_{n+1} =\log Q_n + n\log(n+1)-\log(n!)$$
Así:
$$\log Q_n = \sum_{k=1}^n \left((k-1)\log k -\log\left((k-1)!\right)\right)$$
Ahora $\log (k-1)! = (k-1)\log (k-1) - (k-1) + O(\log k)$ así:
$$\log Q_n = \sum_{k=2}^n (k-1)\left(\log\left(1-\frac{1}{k-1}\right)\right) +\frac{n(n-1)}{2} + O(\log(n!))$$
Por lo $$P_n =\frac{\log Q_n}{n^2}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \log \left(\left(1-\frac{1}{k-1}\right)^{k-1}\right)+ \frac{n(n-1)}{2n^2} + O\left(\frac{\log n}{n}\right)$$
Pero $\left(1-\frac{1}{k-1}\right)^{k-1}=O(1)$, por lo que se hace.
Así obtengo $P_n\to\frac{1}{2}$ como el límite.
El límite es de $1/2$.
Aquí es una prueba por la autoridad:
Esto es copiado de aquí: Demostrar que $\prod_{k=1}^{\infty} \big\{(1+\frac1{k})^{k+\frac1{2}}\big/e\big\} = \dfrac{e}{\sqrt{2\pi}}$
$$\prod_{k=0}^n \binom{n}{k} \sim C^{-1}\frac{e^{n(n+2)/2}}{n^{(3n+2)/6}(2\pi)^{(2n+1)/4}} \exp\big\{-\sum_{p\ge 1}\frac{B_{p+1}+B_{p+2}}{p(p+1)}\frac1{n^p}\big\}\text{ como }n \to \infty $$ donde $$\begin{align} C &= \lim_{n \to \infty} \frac1{n^{1/12}} \prod_{k=1}^n \big\{k!\big/\sqrt{2\pi k}\big(\frac{k}{e}\big)^k\big\}\\ &\approx 1.04633506677...\\ \end{align} $$ y el $\{B_p\}$ son los números de Bernoulli, definido por $$\sum_{p \ge 0} B_p\frac{x^p}{p!} = \frac{x}{e^x-1} .$$
Si el $n^2$ raíz, el único término que no vaya a $1$ es $e^{1/2}$ (a partir de $e^{n(n+2)/2}$) así que $\left(\prod_{k=0}^n \binom{n}{k}\right)^{1/n^2} \sim e^{1/2} $ o $\dfrac{\sum_{k=0}^n \ln \binom{n}{k}}{n^2} \sim 1/2 $.
Probablemente hay una forma relativamente sencilla prueba. Podría ser más fácil de encontrar saber la respuesta.
marty cohen
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Vamos a ver si me puede venir para arriba con una simple prueba que el límite es de 1/2.
El registro del numerador (el producto de los coeficientes binomiales) es fácil: $\dfrac{(n+1)\ln n!}{n^2} \sim \dfrac{(n+1)(n \ln n - n + O(\ln n))}{n^2} =(\ln n) -1 + o(1) $.
Para el registro del denominador (el producto de los coeficientes binomiales) , necesitamos
$\begin{array}\\ d_n &=\sum_{k=0}^n \ln k!\\ &=\sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \ln i\\ &=\sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \ln i\\ &=\sum_{i=1}^n (n-i+1) \ln i\\ &=\sum_{i=1}^n (n+1) \ln i-\sum_{i=1}^n i \ln i\\ &=(n+1)\ln(n!)-\sum_{i=1}^n i (\ln (i/n)+\ln(n))\\ &=(n+1)\ln(n!)-\sum_{i=1}^n i \ln (i/n)-\sum_{i=1}^n i \ln(n)\\ &=(n+1)\ln(n!)-\sum_{i=1}^n i \ln (i/n)-\ln(n)n(n+1)/2\\ &\sim (n+1)(n \ln n - n + O(\ln n))-\sum_{i=1}^n i \ln (i/n)-(n^2/2)\ln(n)+O(n \ln n)\\ &\sim \frac12 n^2 \ln(n)-n^2+o(n^2)-\sum_{i=1}^n i \ln (i/n)\\ \end{array} $
El denominador es $\dfrac{2d_n}{n^2} \sim\ln(n)-2-\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \ln (i/n) + o(1) $. Restando ellos, tenemos $1+2\frac1{n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \ln (i/n) + o(1) $.
Esa suma es un Riemann aproximación (que es, por supuesto, lo que yo estaba tratando de) a $\int_0^1 x \ln(x) dx =\frac12 x^2 \ln x - \frac{x^2}{4}|_0^1 =-\frac14 $.
El resultado final es $1-2\frac14 =\frac12 $ como debe ser.
marty cohen
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He aquí un límite superior (probablemente no es lo suficientemente bueno) para empezar:
A partir de la media aritmética-media geométrica de la desigualdad, $\prod_{i=0}^n \binom{n}{i} <\left(\dfrac{\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}}{n}\right)^n =\left(\dfrac{2^n}{n}\right)^n =\dfrac{2^{n^2}}{n^n} $ así $(\prod_{i=0}^n \binom{n}{i})^{1/n^2} <\dfrac{2}{n^{1/n}} < 2 $ o $\dfrac{\sum_{i=0}^n \ln \binom{n}{i}}{n^2} < \ln 2 $.
