Se puede reemplazar uno desigualdad con otro?

Question

Supongamos que tengo una colección de números reales $x_b$ donde $b \in \{1, ..., n\}$, y una constante$C$$1/n \le C \le 1$. Supongamos que

para todos $b$, $x_b \le C \sum_{a} x_a$

De lo anterior se sigue que

para todos $b$, $|x_b| \le C \sum_{a} |x_a|$

Ciertamente, si todos los $x_b$ son positivas, a continuación, el resultado se mantiene, y es suficiente para comprobar la implicación de cuando exactamente una de las $x_b$ es negativo. Me registré para una gran muestra aleatoria, pero no puedo obtener ninguna más que esto. He tratado de comparar el $l^1$ $l^\infty$ normas fue en vano.

Este problema no puede ser muy difícil de resolver de una manera o de la otra. ¿Alguno tiene alguna idea?

Answer 1

(Espero haber entendido bien, porque la $a$ parecen salir de la nada).

Tomar $x_1=x_2=\ldots =x_7=\frac{1}{4}$, $x_8=-1$ y $C=\frac{1}{3}$ (por lo que ha $\frac{1}{8}\leq C\leq 1$). Si $X=\sum_a x_a$$Y=\sum_a|x_a|$, usted tiene $CX=\frac{1}{4}$, por lo que está bien para la primera ecuación.

Por otro lado $Y=\frac{11}{4}$ $CY=\frac{11}{12}$ es menor que $|a_8|=1$.

Answer 2

La desigualdad es falso en general. Un contraejemplo:

Deje $n = 7$. Deje $x_1 = -1$. Deje $x_2 = \cdots = x_7 = \frac{\sqrt{2}+1}{6}$. Y deje $C = \frac{\sqrt{2}+1}{6\sqrt{2}}$. Entonces $$ \sum x_a = -1 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} $$ por lo $C\sum x_a \geq x_b$ cualquier $b$.

Pero $$ \sum |x_a| = \sqrt{2} + 2 $$ así $$ C\sum |x_a| = \frac{3+2\sqrt{2}}{6} < 1 = |x_1|$$

Curiosamente, para $n \leq 6$ la desigualdad es verdadera. Un esbozo de la prueba va algo como esto:

La desigualdad es trivialmente verdadero si todos los de $x_a$ son no negativos, o si $C = 1/n$ (ya que en ese caso se debe disponer de todos los $x_a$ son idénticas). Por lo que asumimos que el $C>1/n$, y que no se $k>0$ elementos que son negativos. Podemos suponer que esos son los primeros a $k$. A continuación, dada la desigualdad implica $$ x_b \leq C \sum_{k+1}^n x_a - C \sum_1^k |x_a| $$ nos suma $b$$k+1$$n$, y tenemos que $$ C(n-k)\sum_1^k |x_a| \leq [C(n-k)-1] \sum_{k+1}^n x_a $$ aviso que esto pone una restricción en $k$ tal que $C(n-k)-1 > 0$. Denotar por $\delta = C(n-k)-1$. Podemos re-escribir lo anterior como $$ (2\delta + 1)\sum_1^k |x_a| \leq \delta \sum_1^n |x_a| $$

Así que si $C(2\delta + 1)/\delta \geq 1$, la expresión anterior implicará la deseada desigualdad. Pero $C = (1+\delta)/(n-k)$, por lo que tenemos $$\frac{C(2\delta + 1)}{\delta} = \frac{\sqrt{2}}{n-k}(\frac{1}{\sqrt{2}\delta} + \sqrt{2}\delta) + \frac{3}{n-k} $$ Usando ese $x + x^{-1} \geq 2$, tenemos que $$ \geq \frac{2\sqrt{2} + 3}{n-k} $$

Así que si $n \leq 6$, lo anterior se garantiza que al menos 1 (ya $k \geq 1$$2\sqrt{2} > 2$).

Comentario Curiosamente, el importantísimo número de es $n-k$. Si a priori se sabe que no hay más de 5 de las $x_a$ son positivas, entonces, el de la desigualdad se mantenga.

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Un par de comentarios adicionales:

1. Sí, yo hice la prueba primero antes de escribir el ejemplo. De ahí la casi óptimo constantes.
2. Vemos que la restricción en $n-k$ puede ser relajada si sabemos a priori que $\delta = C(n-k) - 1 \leq n-k-1$ es grande. Por supuesto, en el caso de que $C = 1$, la conclusión es una tontería para cualquier $n$. Un cálculo que muestra el siguiente crudo asintótica inferior de la envolvente: la desigualdad se cumple cuando $n < \frac{3 - \sqrt{2}}{1-C}$ (la desigualdad puede ser cierto incluso para algunos $n$ más grande que eso; pero como $C\to 1$ desde abajo, esto debería dar el derecho de tasa de crecimiento).

Answer 3

Deje $m = \min_i x_i$$M = \max_i x_i$. Si $m \geq 0$, entonces la afirmación es trivial, así que supongo que $m < 0$.

Si $M < 0$, entonces podemos reescribir la givens como $$ |x_i| \geq C\sum_j |x_j|. $$ La adición de todas estas desigualdades, $$ \sum_i |x_i| \geq nC \sum_j |x_j|, $$ y, por tanto,$nC \leq 1$. Por lo tanto $nC=1$, y así todos los $x_i$ son iguales, y las desigualdades trivialmente espera.

Para el caso interesante es cuando $m < 0 \leq M$. Intuitivamente, es claro que el caso más difícil es cuando $$x_1=m, \; x_2=\cdots=x_n=M, \; M = C\sum_i x_i = C((n-1)M + m). $$ Tenemos que comprobar si $$-m \leq C\sum_i |x_i| = C(\sum_i x_i - 2m) = M - 2Cm. $$ Ya que todo es homogéneo, podemos asumir que $M = 1$. Esto implica que $ Cm = 1-C(n-1)$. Por lo tanto, la necesaria desigualdad es $$ -m \leq 1 -2(1-C(n-1)) = 2C(n-1) - 1. $$ Multiplicando por $C$ y la sustitución de $Cm$, $$ C(n-1) - 1 \leq 2C^2(n-1) - C. $$ Obtenemos la desigualdad cuadrática $$ 0 \leq 2(n-1)C^2 - nC + 1. $$ Los puntos críticos de la ecuación cuadrática son $$ C_{+,-} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 8(n-1)}}{4(n-1)}. $$ La desigualdad se cumple cuando $C \leq C_-$ o $C \geq C_+$. Tenga en cuenta que, aproximadamente, $$C_- \approx \frac{2}{n}, \; C_+ \approx 1-\frac{1}{n}. $$

Al $C_- < C < C_+$, podemos construir un ejemplo de la forma discutidos en el que sea necesario la desigualdad no lleva a cabo. El otro caso se deja como ejercicio para el lector.