¿Cuántas raíces reales están ahí para $2^x=x^2$?

Question

¿Cuántas raíces reales están ahí para $2^x=x^2$?

Answer 1

Una solución obvia es $x=2$.

Si $2^x = x^2$,$x\neq 1$$x\neq 0$. Voy a tratar los aspectos positivos y negativos de los casos por separado.

Si $x\gt 0$, entonces obtenemos $x\ln(2) = 2\ln (a)$ o $\frac{x}{\ln x} = \frac{2}{\ln 2}$.

La derivada de $g(x) = \frac{x}{\ln x}$$\frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.

En $(1,\infty)$, la derivada es positiva en $(e,\infty)$ y negativa en $(1,e)$, por lo que hay un mínimo absoluto en $x=e$, donde el valor es $e$; $\lim\limits_{x\to 1^+} g(x) = \lim\limits_{x\to\infty}g(x) = \infty$; desde $\frac{2}{\ln 2}\gt e$, hay dos valores de $x$ donde $g(x) = \frac{2}{\ln 2}$; una es $x=2$, que ya habíamos encontrado, el otro es un valor mayor que $e$ (lo que sucede es $4$).

En $(0,1)$, $g(x)$ es siempre negativo, por lo que no hay valores de $g(x)=\frac{2}{\ln 2}$.

Así, por $x\gt 0$, hay dos soluciones.

Para $x\lt 0$, la ecuación de $2^x = x^2$ es equivalente a la ecuación de $\left(\frac{1}{2}\right)^a = a^2$ donde $a=-x\gt 0$. Esta vez, la ecuación es equivalente a $\frac{a}{\ln a} = -\frac{2}{\ln 2}$. No hay soluciones para $a\gt 1$, ya que el $g(x)$ es positiva. En $(0,1)$, $g'(x)\lt 0$, así que la función es estrictamente decreciente; tenemos $\lim\limits_{a\to 0^+}\frac{a}{\ln a} = 0$$\lim\limits_{a\to 1^-}\frac{a}{\ln a} = -\infty$, por lo que existe uno y sólo un valor de $a$ que $\frac{a}{\ln a} = -\frac{2}{\ln 2}$. Por lo tanto, existe un valor de $x\lt 0$ que resuelve la ecuación.

En resumen, hay tres soluciones reales: uno se encuentra en el $(-1,0)$, el segundo es $2$, y la tercera es $4$.

Answer 2

Explícitamente, la tercera solución real (además de los 2 y 4) es $- \frac{2 W(\ln(2)/2)}{\ln(2)}$ donde $W$ es la función W de Lambert.

Answer 3

Suponiendo que $x>0$, tomando logaritmos de ambos lados y reordenando, obtenemos que $$ \frac{\log(x)}{x}=\frac{\log(2)}{2} $$ Desde $\frac{d}{dx}\frac{\log(x)}{x}=\frac{1-\log(x)}{x^2}$ desaparece sólo cuando $x=e$, e $\frac{\log(x)}{x}=\frac{\log(2)}{2}$ al$x=2$$x=4$, esas son las únicas dos soluciones positivas (es decir, el Valor medio Teorema dice que $\frac{d}{dx}\frac{\log(x)}{x}$ se desvanece entre cualquiera de las dos soluciones).

Para $x<0$, señalando que $x^2=(-x)^2$, tenemos $$ \frac{\log(-x)}{x} = \frac{\log(2)}{2} $$ Desde $\frac{d}{dx}\frac{\log(-x)}{x}=\frac{1-\log(-x)}{x^2}$ sólo se desvanece en $x=-e$, no puede haber más de una solución en $(-e,0)$ y una en $(-\infty,-e)$.

Para $x$ en $(-\infty,-e)$, $\frac{\log(-x)}{x}<0$ así que no hay soluciones en este rango.

Desde $\frac{\log(-(-1))}{-1}=0$$\frac{\log(-(-1/2))}{-1/2}=2\log(2)>\frac{\log(2)}{2}$, debe haber una solución en $(-1,-\frac{1}{2})$,$x=-.766664695962123093111204422510$.

Así que para responder a la pregunta, hay tres soluciones.

Answer 4

Ir a Wolfram|Alpha y escriba $2^x=x^2$ (enlace)

Answer 5

A la carne de Robert solución:

$$x^2=\exp(x\ln 2)$$

puede ser reorganizado como:

$$x^2 \exp(-x\ln 2)=1$$

Adoptar las medidas de la raíz cuadrada de ambos lados:

$$x \exp\left(-x\frac{\ln 2}{2}\right)=-1$$

multiplicar ambos lados por el factor correspondiente:

$$-x \frac{\ln 2}{2}\exp\left(-x\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\ln 2}{2}$$

invocar la función de Lambert:

$$-x \frac{\ln 2}{2}=W\left(\frac{\ln 2}{2}\right)$$

y Bob es tu tío:

$$x=-\frac{2}{\ln 2}W\left(\frac{\ln 2}{2}\right)$$

También,

$$-\frac{2}{\ln 2}W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=2$$

y

$$-\frac{2}{\ln 2}W_{-1}\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=4$$

donde $W_{-1}(x)$ es la otra rama de la función de Lambert que es real en el intervalo de $[-1/e,0)$