Un conjunto $S\subseteq\mathbb R$ se dice que son linealmente independientes si para los distintos $x_1,\ldots,x_k$ ($k\in\mathbb N$) y para los números enteros $n_1,\ldots,n_k$, $$n_1x_1+\ldots+ n_kx_k=0$$ implies that $$n_1=\ldots=n_k=0.$$ No es difícil ver que esta definición es equivalente a la que $n_1,\ldots,n_k$ se les permite ser racionales.
Por el lema de Zorn, existe una máxima tal que sean linealmente independientes $S$, que es una base de Hamel para$\mathbb R$$\mathbb Q$. Ahora, el Problema 14.7 en Billingsley de la Probabilidad y Medida (1995) afirma que
[C]ada real $x$ puede escribirse de forma única como $x=n_1x_1+\cdots+n_kx_k$ para los distintos puntos de $x_i$ $S$ y enteros $n_i$. [énfasis añadido]
Creo que esto no es correcto:
(1) En la definición anterior de independencia lineal, enteros y racionales son intercambiables, pero... (2) ...en la Hamel de la base de la representación, racionales debe ser permitido. Coordenadas enteras no son suficientes para representar todos los de $\mathbb R$ para cualquier máxima lineales independientes $S$.
Me pregunto si alguien puede confirmar que esto es un error tipográfico. Gracias.
Aquí es una prueba de dibujo de por qué los números enteros no son suficientes. Deje $x\in S$. Ahora, si Billingsley la reclamación fuera cierto, sería el caso de que $$\frac{x}{2}=\sum_{i=1}^kn_ix_i$$ for distinct $x_i\en S$ and integers $n_i$. But then $$x-2n_1x_1-\ldots-2n_kx_k=0.$$ Because of linear independence, $x$ must coincide with some other $x_i$. Since the $x_i$'s are distinct, there must be precisely one such $x_i$. Then, by matching the coefficients, it must be the case that $$1-2n_i=0,$$ or $n_i=1/2$, que no es un número entero.
