¿Hasta qué punto puede uno recuperar ondas planas de las amplias funciones propias de un lineal de potencial como el campo está desactivado?

Question

Considere la posibilidad de una masiva sola partícula en una dimensión bajo la acción de una estático lineal, potencial, con el hamiltoniano $$ \hat H=\frac{\hat p^2}{2}+\hat{x}F_0. $$ El eigenstate en energía $E$ es, con esta normalización, dado por $$ \langle x|\chi_E\rangle = \frac{2^{1/3}}{F_0^{1/6}} \operatorname{Ai}\left(\sqrt[3]{2F_0}\left(x-\frac{E}{F_0}\right)\right), $$ donde $\operatorname{Ai}$ es la función de Airy y los autoestados satisfacer $\int_{-\infty}^\infty|\chi_E\rangle \langle \chi_E|\mathrm dE=1$$\langle \chi_E|\chi_{E'}\rangle=\delta(E-E')$.

Me gustaría saber hasta qué punto puede desactivar el campo, es decir, investigar el límite de $F_0\to 0$, y recuperar el plano de onda autoestados de la partícula libre.

Mucho de esto es rutina: puedo aplicar el Aireado de la función asintótica de la propiedad, $$ \operatorname{Ai}(-z)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi}z^{1/4}}\sin\left(\tfrac23 z^{3/2}+\frac \pi 4\right), $$ además de algunos primaria en series de Taylor en el cuadro de competencias de $1-F_0 x/E$ para conseguir que, si $E>0$ es fijo e $x$ es en un fijo, limitado intervalo, entonces $$ \langle x|\chi_E\rangle \sim \frac{2^{1/4}}{\sqrt{\pi}E^{1/4}} \sin\left( \frac\pi4 +\frac{\sqrt{8}}{3}\frac{E^{3/2}}{F_0}-\sqrt{2}x \right) . \etiqueta{1} $$

Esto es, todas las cosas que dijo, bastante bueno. Puedo recuperar el plano de las ondas con el adecuado impulso $|p|=\sqrt{2E}$, e incluso son bastante correctamente normalizado (desde $\mathrm dE/(\sqrt[4]{E})^2\propto \mathrm dp$). Desde que estoy tomando el límite del valor real de las funciones, yo, naturalmente, obtener un valor real de límite.

Sin embargo, esta no es perfecto. Para uno, yo sólo recuperar una linealmente independientes eigenstate en cada energía. No debe ser otro, la fase desplazado a la solución, que sería proporcional a un coseno de un mismo argumento. Para una muy pequeña, pero no cero $F_0$, esto coseno solución se convertirá en un lugar Aireado función de la segunda clase $\operatorname{Bi}$ sobre $x=E/F_0$, y luego volar super-de manera exponencial después de eso. Sin embargo, mi análisis en un pre-elegido delimitada intervalo de $x$ y lo suficientemente pequeño $F_0$ no puede saber nada acerca de lo que va a suceder de forma más hay, ni debe realmente la atención.

Lo que es más importante, sin embargo, es el hecho de que el límite no está muy bien definido, porque de esa horrible extra de fase en $E^{3/2}/F_0$, lo que hace que todo lo que no tiende a nada. Se podría decir que en cierto modo esto se soluciona mi problema, porque se puede escribir la aproximación como \begin{align} \langle x|\chi_E\rangle \sim \frac{2^{1/4}}{\sqrt{\pi}E^{1/4}} & \left[ \sin\left( \frac\pi4 +\frac{\sqrt{8}}{3}\frac{E^{3/2}}{F_0} \right) \cos\left( \sqrt{2E}x \right) \right. \\ & \qquad \left. - \cos\left( \frac\pi4 +\frac{\sqrt{8}}{3}\frac{E^{3/2}}{F_0}\right) \sin\left(\sqrt{2E}x \right) \right]. \end{align} Si puedo solucionar $E$, y un pequeño pero distinto de cero $F_0$ de manera tal que la solución se comporta igual que el primero, coseno plazo, entonces no es otro eigenstate en energía $E'=E+\delta E$, ligeramente por encima de ella, tales que $$ \frac{\sqrt{8}}{3}\frac{E^{3/2}}{F_0}=\frac{\sqrt{8}}{3}\frac{E^{3/2}}{F_0}+\frac\pi2 $$ o, a primer orden en $F_0$, $\delta E=\frac{\pi}{2}\frac{F_0}{\sqrt{2E}}$. Como $F_0$ va a cero $\delta E$ también se encoge y esta segunda solución venga a sentarse en la misma energía que yo empecé con el, pero con el trivial de la fase que yo necesitaba.

Este análisis sobre todo me parece poco sincero, y que sin duda ignora el hecho de que la onda fija de energía en $(1)$ realidad no convergen a nada y no tiene un lugar bien definido en la fase si lo hace. Esta segunda, la misteriosa solución a algunos otros de la energía $E'$, que depende de la $F_0$, también no convergen a nada ni va a tener una clara fase, pero esto no definitiva fase, de alguna forma misteriosa ser exactamente complementarios a la no-definitiva de la fase I se inició con. Expresado en los que la luz, no tiene ningún sentido en absoluto - aunque para ser honesto no se siente como que no tiene suficiente cantidad de los ingredientes de nontriviality que puede ser construido en un argumento que en realidad coherente.

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Así: estoy buscando métodos o referencias a tratar rigurosamente con la $F_0\to0$ límite, y para extraer por riguroso significa, si es posible, el conjunto completo de dos linealmente independientes autoestados por definitivo de la energía de la partícula libre de este sistema.

Answer 1

Esto se entiende como un comentario, pero demasiado largo. De ahí que los publique como un respuesta.

Se puede ver también la evolución en el tiempo y considerar la $F_{0}\rightarrow 0$ límite en ese contexto. La conmutación de las propiedades de los operadores involucrados nos permite reescribir la evolución en el tiempo del operador como un producto donde cada factor no contiene no de desplazamientos de los operadores. Así tenemos \begin{equation*} \exp [-iHt]=\exp [-i(\frac{p^{2}}{2}+F_{0}x)t] \end{ecuación*} y encontrar por la diferenciación wrt tiempo que \begin{eqnarray*} \partial _{t}U(t) &=&\partial _{t}\{\exp [-iF_{0}xt]\exp [-iHt]\}=\exp [-iF_{0}xt]\{-i(F_{0}x-\frac{p^{2}}{2}-F_{0}x)\}\exp [-iHt] \\ &=&=\frac{-i}{2}\exp [-iF_{0}xt]p^{2}\exp [+iF_{0}xt]U(t) \\ &=&=\frac{-i}{2}(p+F_{0}t)^{2}U(t) \end{eqnarray*} así \begin{eqnarray*} U(t) &=&\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t+pF_{0}t^{2}+\frac{1}{3}F_{0}^{2}t^{3})] \\ \exp [-iHt] &=&\exp [+iF_{0}xt]\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t+pF_{0}t^{2}+\frac{1 }{3}F_{0}^{2}t^{3})] \end{eqnarray*} La ventaja es que el exponenciales ya no contienen no los desplazamientos a los operadores . Requerimos una fuerte convergencia \begin{equation*} \exp [-iH(F_{0})t]f\overset{F_{0\rightarrow 0}}{\rightarrow }\exp [-iH(0)t]f=\exp [\frac{-i}{2}p^{2}t]f \end{ecuación*} Podemos tratar de estimar \begin{eqnarray*} &\parallel &\exp [-iH(F_{0})t]f-\exp [-iH(0)t]f\parallel \\ &=&\parallel \exp [+iF_{0}xt]\{\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t+pF_{0}t^{2}+\frac{1% }{3}F_{0}^{2}t^{3})]f-\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t]\}f\parallel \\ + &\parallel &\{\exp [+iF_{0}xt]-1\}\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t]f\parallel \\ &\leqslant &\parallel \{\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t+pF_{0}t^{2}+\frac{1}{3}% F_{0}^{2}t^{3})]f-\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t]\}f\parallel \\ + &\parallel &\{\exp [+iF_{0}xt]-1\}\exp [\frac{-i}{2}(p^{2}t]f\parallel \\ &=&\parallel \{\exp [\frac{-i}{2}(pF_{0}t^{2}+\frac{1}{3}F_{0}^{2}t^{3})]f-f% \parallel +\parallel \{\exp [+iF_{0}xt]-1\}\exp [\frac{-i}{2}% (p^{2}t]f\parallel \rightarrow 0 \end{eqnarray*} Esto parece todo correcto, es decir, el límite tiene sentido. Sin embargo no dice nosotros nada acerca de las funciones de Airy. Encontrar las correcciones de orden principal en $F_{0}$ se ve difícil, pero muy difícil.