Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua, acotada tal que el espacio de $\mathrm{lin}\{f_k(x)=f(x+k)∣k ∈\mathbb{N}\}$ es finito-dimensional.
Determinar una expresión explícita para $f$.
La secuencia de $(f_k)$ genera un espacio vectorial de dimensión finita, significa que la secuencia de $(f_k)$ admite un no-cero del polinomio mínimo.
Deje $P_f(X) = \sum_{k=0}^n p_k X^k$ este polinomio.
Podemos entonces construir $f$ por inducción: en primer lugar construimos $f$ continua (y por lo tanto limitado) en $[0, k]$ tal que $\sum_{k = 0}^d p_k f(k)=0$, $f$ se extiende a $\mathbb{R}$ a través de la relación $$\forall x \in \mathbb{R} \sum_{k=0}^d p_kf (x+k)=0.$$
¿Cómo puedo seguir ?
NB: la Escritura de este ejercicio me he dado cuenta de que él estaba aquí. Desgraciadamente, la respuesta no nos da una expresión explícita para $f$. A continuación, por favor, no cierre mi pregunta como un duplicado.
EDIT: Esta función $$f_\theta : n + x \mapsto (\sin(n\theta)-\sin((n-1)\theta)) x - \sin(n\theta)$$ for $n \in \mathbb{Z}, 0 \leq x < 1$ obras.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser un almacén de función continua a trozos. Para $k\in\mathbb{Z}$, podemos definir $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f_k(x)=f(k+x)$ , y consideramos que $$ V_f=\text{Span}\{f_k:k\in\mathbb{N}\}. $$ Queremos caracterizar las funciones de $f$ que $\dim V_f<+\infty$.
Proposición 1. Considere la posibilidad de un polinomio real $P(X)=X^d-\sum_{k=0}^{d-1}a_kX^k$ habiendo $d$ complejo distinto de ceros de módulo de $1$, y considerar el espacio de los acuerdos bilaterales lineal recurrente secuencias $$ \cal{L}_P=\left\{(u_n)_{n\in\mathbb{Z}}:\forall\n\in\mathbb{Z},~u_{n+d}=\sum_{k=0}^{d-1}a_ku_{n+k} \right\}. $$ Deje $\left(e^{(1)},e^{(2)},\ldots,e^{(d-1)}\right)$,$e^{(k)}=\big(e^{(k)}_n\big)_{n\in\mathbb{Z}}$, ser una base de $\mathcal{L}_P$. También, considere la posibilidad de $B_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a ser un seccionalmente continua $1$-función periódica, para $k\in\{0,\ldots,d-1\}$. A continuación, la función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $$ f(x)=\sum_{i=0}^{d-1}B_r(x)e^{(r)}_{\lfloor x\rfloor} $$ es seccionalmente continua delimitada la función de la satisfacción de $\dim V_f<+\infty$.
Prueba.
En primer lugar, tenga en cuenta que la secuencia de $e^{(k)}$ es una combinación lineal de progresiones geométricas de la forma $(\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}}$ con $|\lambda|=1$, por lo que es acotada. Esto demuestra que se considera la función de $f$ es un almacén de función continua a trozos.
Además, tenga en cuenta que $$ \sum_{k=0}^{d-1} a_kf(x+k)=\sum_{k=0}^{d-1}B_r(x)\sum_{k=0}^{d-1}a_ke^{(r)}_{\lfloor x\rfloor+k} =\sum_{k=0}^{d-1}B_r(x)e^{(r)}_{\lfloor x\rfloor+d}= f(x+d) $$ La sustitución de $x$$x+n$, llegamos a la conclusión de que $$f_{n+d}\in \text{Span}\{f_{k+n}:0\leq k\leq d-1\}$$ para cada $n$, y esto nos permite demostrar por inducción matemática que $$f_n\in\text{Span}\{f_k:0\leq k\leq d-1\},\quad\hbox{for every $n\geq d$.}$$ Hence $\dim V_f<+\infty$.$\qquad\square$
Vamos a probar que el recíproco de la Proposición 1. también es cierto. De hecho, tenemos el siguiente resultado:
Proposición 2. Considere la posibilidad de una limitada función continua a trozos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $\dim V_f<+\infty$. A continuación, $f$ tiene la forma descrita en la Proposición 1.
Prueba.
Permítanos mostrarle cómo encontrar todos los bloques de construcción de la construcción. En primer lugar, defina $d$ por la fórmula: $$ d=\min\{k\geq 1:f_k\en\text{Span}(f_0,f_1,\ldots,f_{k-1})\}. $$ Claramente la existencia de $d$ se deduce del hecho de que $\dim V_f<+\infty$. El minimality de $d$ demuestra que $(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$ es una base de $V_f$, y en consecuencia, existe un único vector de $(a_0,a_1,\ldots,a_{d-1})$ de los números reales tales que $f_d=\sum_{k=0}^{d-1}a_kf_k$. Tenga en cuenta que $a_0\ne 0$ porque $a_0=0$ implicaría que $f_{d-1}=\sum_{k=1}^{d-1}a_kf_{k-1}$, y esto se contradice con la minimality de $d$. Definir el polinomio real $P(X)=X^d-\sum_{k=0}^{d-1}a_kX^k$, y considerar el espacio $\mathcal{L}_P$ bilateral lineal recurrente secuencias: $$ \mathcal{L}_P=\left\{(u_n)_{n\in\mathbb{N}}:\forall\,n\in\mathbb{Z},~u_{n+d}=\sum_{k=0}^{d-1}a_ku_{n+k} \right\}. $$ De hecho, desde el $a_0\ne 0$ que puede ir en ambas direcciones a partir de las condiciones iniciales. A partir de la igualdad $f_d=\sum_{k=0}^{d-1}a_kf_k$, vemos que para cada $x\in\mathbb{R}$ la secuencia de $(f_n(x))_{n\in\mathbb{Z}}$ pertenece a $\mathcal{L}_P$.
Ahora, desde la $(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$ son linealmente independientes, no existe $(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})\in\mathbb{R}^d$ tal que el determinante de la $d\times d$ matriz, con $(i,j)$-entrada dada por $f_{i-1}(x_{i-1})$, id diferente de cero, (esta una propiedad general que puede ser demostrado por inducción). De ello se sigue que las secuencias de $\left(e^{(1)},e^{(2)},\ldots,e^{(d-1)}\right)$,$e^{(k)}_n=f_n(x_k) $, son linealmente independientes, y desde allí se $d$ de ellos, constituyen una base del espacio $\mathcal{L}_P$. En particular, esto demuestra que los elementos de $\mathcal{L}_P$ son acotados, (porque $f$ es), y, en consecuencia, el $d$ ceros del polinomio característico $P$ $\mathbb{C}$ son distintas y el módulo de $1$.
Próximo, para $x\in\mathbb{R}$, La secuencia de $(f_n(x))_{n\in\mathbb{Z}}$ pertenece a $\mathcal{L}_P$, por lo que hay $(\lambda_0(x),\ldots,\lambda_{d-1}(x))$ tal que $$ \forall\n\in\mathbb{Z},\quad f_n(x)=\sum_{k=0}^{d-1}\lambda_k(x)f_n(x_k) $$ Tenga en cuenta que $(\lambda_0(x),\ldots,\lambda_{d-1}(x))$ se obtienen resolviendo el sistema lineal $$ f_j(x)=\sum_{k=0}^{d-1}\lambda_k(x)f_j(x_k),\quad j=0,\ldots,d-1 $$ Así, cada una de las $\lambda_k$ es una combinación lineal de las funciones $(f_0,\ldots,f_{d-1})$. En particular, $\lambda_k$ es seccionalmente continua. Finalmente $$ f(x)=f(\lfloor x\rfloor+\{x\})= \sum_{k=0}^{d-1}\lambda_k(\{x\})f_{\lfloor x\rfloor}(x_k)= \sum_{i=0}^{d-1}B_k(x)e^{(k)}_{\lfloor x\rfloor} $$ donde $B_k(x)=\lambda_k(\{x\})$ que es seccionalmente continua $1$-función periódica. Esto concluye nuestra construcción.$\qquad\square$
Por último, Si estamos interesados sólo con funciones continuas $f$ que satisfacer $\dim V_f<+\infty$, sólo tenemos que asumir que el $B_k$'s son continuas en a $(0,1)$ y satisfacer la continuidad de las condiciones en los puntos de $ 1,\ldots,d $ a fin de $f$ a de ser continuo. Que es $$ \sum_{k=0}^{d-1}B_k(1^-)e^{(k)}_{j-1}= \sum_{k=0}^{d-1}B_k(0^+)e^{(k)}_{j}\quad j=1,2,\ldots,d. $$
