Mapeos holomórficos, fórmula de Plücker (¿error en el libro de Rick Miranda?)

Question

En el libro de Rick Miranda "Curvas algebraicas y superficies de Riemann", para demostrar la fórmula de Plücker para las curvas planas proyectivas suaves, primero define una curva plana proyectiva mediante la fórmula $X:F(x,y,z)=0$ donde por supuesto $F$ es un polinomio homogéneo. Ahora, define el mapa $\pi:X\to\mathbb{P}^2$ tal que $[x:y:z]\mapsto[x:z]$ y utiliza las propiedades de este mapa para demostrar la fórmula. Esta puede ser una pregunta muy tonta con una respuesta obvia, pero ¿es esta función $\pi$ realmente definido en toda la curva $X$ ? ¿Y si $F(x,y,z)=x+z$ Entonces $\pi[0:1:0]$ no estaría definido.

La prueba en el libro utiliza el divisor de ramificación de $\pi$ y, por lo tanto, necesariamente hace uso del hecho de que $\pi$ está bien definida.

Si alguien puede aclararme este problema, se lo agradecería mucho.

Gracias.

Answer 1

La prueba comienza con las palabras " Que $X$ sea una curva proyectiva suave...". Y suave es la palabra mágica que resuelve tu problema. En efecto, existe una proposición que afirma que un mapa racional (o meromorfo) de un curva suave al espacio proyectivo es realmente regular (u holomorfo).

En su ejemplo tiene, para un punto $[x:y:z]\in X$ diferente de $P=[0:1:0]$ la fórmula $\pi [x:y:z]=[x:z]=[x:-x]=[1:-1]$ teniendo en cuenta que $x+z=0$ en $X$ . Por lo tanto, es fácil ampliar $\pi$ regularmente a través de $P$ ya que $\pi$ es realmente constante. Sólo hay que definir $\pi(P)=\pi( [0:1:0])=[1:-1]$ .

Nota: La proposición mencionada anteriormente (sobre la regularidad de los mapas racionales) no es difícil. Si se toma una coordenada $t$ para su curva cerca del punto problemático $P$ , localmente en $P \;$ el mapa es $t\mapsto [t^au(t):t^bv(t)]$ (donde he asumido que el objetivo es $\mathbb P^1$ ) con $a,b\in \mathbb N$ y $u,v\in\mathcal O_{X,P}^\ast$ (unidades de $\mathcal O_{X,P})$ . Si $a>b$ el mapa es sólo $t\mapsto [t^au(t):t^bv(t)]=[t^{a-b}u(t):v(t)]$ y es evidente que puede ampliarse regularmente enviando $P$ a $[0:v(0)]=[0:1]$ . Y del mismo modo, si $a\leq b$ . Y de forma similar si el objetivo es $\mathbb P^N$ .