Demostrar la identidad de Abel para la Dilogarithm.

Question

Abel Identidad del dilogarithm se expresa de la siguiente manera

Teorema (Abels De Identidad)

Dado que el $x,y \,{\not\in}\,[1,\infty)$ \begin{align*} \log(1-x) \log(1-y) = \operatorname{Li}_2(u) + \operatorname{Li}_2(v) - \operatorname{Li}_2(u v) - \operatorname{Li}_2(x) - \operatorname{Li}_2(y)\, \end{align*} tiene para todos los $x,y$. Donde$u = \frac x{1-y}$$v = \frac y{1-x}$.

Yo era capaz de encontrar el original en papel, donde la instrucción está probada. Se puede leer aquí Abels Identidad. Yo estaba muy contento de encontrar el papel, y siendo de Noruega pensé que yo debería ser capaz de leerlo. (Sin juego de palabras inteded.) Por desgracia, el artículo está escrito en francés, un idioma extraño para mí. Alguien me puede ayudar esquema de la prueba para que esta identidad?

Traté de diferenciación de la expresión con respecto a la $x$ $y$ pero todo estaba muy sucio, muy rápido. Toda la ayuda se agradece =)

Answer 1

Esta es una traducción directa de Abel papel bonito 'Nota sur la función $\psi x=x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}+\cdots$'.

Empezar con $\;\displaystyle\operatorname{Li}_2(x)=-\int\frac{\log(1-x)}x\,dx\;$ y establecer $\;\displaystyle x:=\frac a{1-a}\frac y{1-y}\;$ '$a$ ' constante.

A continuación, $\;\log(x)=\log(a)-\log(1-a)+\log(y)-\log(1-y)\,$ y los diferenciales verificará : $$\frac {dx}x=\frac {dy}y+\frac {dy}{1-y}$$ Desde $\,(1-a)(1-y)-ay=1-a-y\,$ obtenemos :
(factorización de más $(1-y)$ en el logaritmo de $\frac{dy}y\;$$(1-a)$$\frac{dy}{1-y}$)

\begin{align} \operatorname{Li}_2\left(\frac a{1-a}\frac y{1-y}\right)&=-\int\left(\frac{dy}y+\frac{dy}{1-y}\right)\log\frac{1-a-y}{(1-a)(1-y)}\\ &=-\int\frac{dy}y\log\left(1-\frac y{1-a}\right)+\int \frac{dy}y\log(1-y)\\ &\quad-\int\frac{dy}{1-y}\log\left(1-\frac a{1-y}\right)+\int \frac{dy}{1-y}\log(1-a)\\ \end{align}

Pero las integrales de la derecha puede ser escrito como $\operatorname{Li}_2$ funciones del puesto : \begin{align} &\int\frac{dy}y\log\left(1-\frac y{1-a}\right)=-\operatorname{Li}_2\left(\frac y{1-a}\right),\\ &\int\frac{dy}y\log\left(1-y\right)=-\operatorname{Li}_2\left(y\right);\\ \end{align} de modo que $$ \operatorname{Li}_2\left(\frac a{1-a}\frac y{1-y}\right)=\operatorname{Li}_2\left(\frac y{1-a}\right)-\operatorname{Li}_2\left(y\right)-\log(1-a)\log(1-y)-\int\frac{dy}{1-y}\log\left(1-\frac a{1-y}\right)$$

Set $z:=\dfrac a{1-y}$ es decir $1-y=\dfrac az,\;dy=\dfrac {a\,dz}{z^2}$ para obtener : $$\int\frac{dy}{1-y}\log\left(1-\frac a{1-y}\right)=\int\frac{dz}z\log(1-z)=-\operatorname{Li}_2\left(z\right)=-\operatorname{Li}_2\left(\frac a{1-y}\right)$$

$$\operatorname{Li}_2\left(\frac a{1-a}\frac y{1-y}\right)=\operatorname{Li}_2\left(\frac y{1-a}\right)+\operatorname{Li}_2\left(\frac a{1-y}\right)-\operatorname{Li}_2\left(y\right)-\log(1-a)\log(1-y)+C$$

La constante arbitraria $C$ será determinado por $\,y=0$ conseguir $\,C=-\operatorname{Li}_2(a)$.
La sustitución de $a$ $x$ obtenemos :

$$\operatorname{Li}_2\left(\frac x{1-x}\frac y{1-y}\right)=\operatorname{Li}_2\left(\frac y{1-x}\right)+\operatorname{Li}_2\left(\frac x{1-y}\right)-\operatorname{Li}_2\,y-\operatorname{Li}_2\,x-\log(1-x)\log(1-y)$$

Set $\;u:=\dfrac x{1-y},\;v:=\dfrac y{1-x}\,$ concluir :

$$\operatorname{Li}_2(u v)=\operatorname{Li}_2(u) + \operatorname{Li}_2(v) - \operatorname{Li}_2(x) - \operatorname{Li}_2(y)-\log(1-x) \log(1-y) $$

Answer 2

No entiendo por qué tienes problemas a la hora de diferenciar. El uso que $$1-u=\frac{1-x-y}{1-y},\qquad 1-v=\frac{1-x-y}{1-x},\qquad 1-uv=\frac{1-x-y}{(1-x)(1-y)}$$ y que $\displaystyle\mathrm{Li}_2'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x}$, la derivada del lado derecho con respecto a $x$ es \begin{align} &-\ln(1-u)\left(\ln u\right)'_x-\ln(1-v)\left(\ln v\right)'_x+\ln(1-uv)\left(\ln u+\ln v\right)'_x+\frac{\ln(1-x)}{x}=\\ &=-\frac{\ln(1-x-y)-\ln(1-y)}{x}-\frac{\ln(1-x-y)-\ln(1-x)}{1-x}+\\ &+\Bigl(\ln(1-x-y)-\ln(1-x)-\ln(1-y)\Bigr)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)+\frac{\ln(1-x)}{x}. \end{align} En la última expresión, en los términos que contengan $\ln(1-x-y)$ $\ln(1-x)$ obviamente cancelar de manera que se reduce a $$-\frac{\ln(1-y)}{1-x}=\frac{d}{dx}\ln(1-x)\ln(1-y).$$ Por lo tanto, para mostrar la identidad, ahora basta para comprobar que para un cierto valor de $x$. Por ejemplo, para $x=0$ hemos $u=0$, $v=y$ y el lado derecho se convierte en $$\mathrm{Li}_2(0)+\mathrm{Li}_2(y)-\mathrm{Li}_2(0)-\mathrm{Li}_2(0)-\mathrm{Li}_2(y) =-\mathrm{Li}_2(0)=0.$$