Todas las sustituciones que se derivan de la observación de que sabemos cómo evaluar la integral si el integrando es una función racional - que es un cociente de dos polinomios. Todo lo demás es sólo la manipulación de la integral para obtener en esa forma. Para una excelente demostración de los métodos para integrar cualquier función racional, por favor consulte este.
Hay $3$ más obvio tipo de sustituciones haremos lo posible para hacer que el integrando una función racional. Sustitución 1: $x=t^k$, la Sustitución de 2: $a+bx^n=t^k$, y la Sustitución de las 3: $a+bx^n=t^kx^n$. Examinaremos ahora cuando cada una de estas sustituciones nos da todos los exponentes de números enteros en el integrando, lo que es una función racional.
Sustitución 1: $x=t^k$. Esto le da a $dx=kt^{k-1}dt$, por lo que tenemos
$$\int x^m(a+bx^n)^pdx=k\int t^{km}(a+bx^{kn})^pt^{k-1}dt$$
Por lo tanto, tenemos una función racional si $km+k-1$, $kn$, y $p$ son todos los números enteros. Esto significa que necesitamos $p$ a ser un número entero y tenemos la necesidad de $k$ a un múltiplo del denominador de $m$ $k$ a un múltiplo del denominador de $n$. Cualquier $k$ va a hacer, pero el más pequeño es el mínimo común denominador de $m$$n$, por lo que generalmente creemos que como el mejor. Tenga en cuenta que esto da lugar a la del caso 1, como se dio en la pregunta.
La sustitución de 2: $a+bx^n=t^k$. Esto le da a $bnx^{n-1}dx=kt^{k-1}dt$, e $x=(\frac{1}{b}t^k-\frac{a}{b})^\frac{1}{n}$, por lo que tenemos
$$\int x^m(a+bx^n)^pdx=\frac{k}{bn}\int (\frac{1}{b}t^k-\frac{a}{b})^{\frac{m}{n}-\frac{n-1}{n}}t^{kp}t^{k-1}dt$$
Por lo tanto, tenemos una función racional si $k$, $\frac{m}{n}-\frac{n-1}{n}$, y $kp+k-1$ son todos los números enteros. En orden para que esto funcione, necesitamos $\frac{m}{n}-\frac{n-1}{n}=\frac{m+1}{n}-1$ a ser un número entero, por lo $\frac{m+1}{n}$ tiene que ser un entero. Se cumple el criterio si $k$ es un múltiplo del denominador de $p$, y de nuevo utilizamos la más pequeña - el denominador de $p$ - porque es la más sencilla. Tenga en cuenta que esto da lugar a caso 2 como se dio en la pregunta.
Sustitución de 3: $a+bx^n=t^kx^n$. Esto le da a $-nax^{-n-1}dx=kt^{k-1}dt$, e $x=(\frac{1}{a}t^k-\frac{b}{a})^\frac{-1}{n}$, por lo que tenemos
$$\int x^m(a+bx^n)^pdx=\frac{-k}{an}\int (\frac{1}{a}t^k-\frac{b}{a})^{\frac{-m}{n}-\frac{n+1}{n}-p}t^{kp}t^{k-1}dt$$
Por lo tanto, tenemos una función racional si $k$, $\frac{-m}{n}+\frac{n+1}{n}+p$, y $kp+k-1$ son todos los números enteros. En orden para que esto funcione, necesitamos $\frac{-m}{n}-\frac{n+1}{n}-p=-\frac{m+1}{n}-p-1$ a ser un número entero, por lo $\frac{m+1}{n}+p$ tiene que ser un entero. Completamente de forma análoga para el último caso, sólo necesitamos ahora para $k$ a un múltiplo del denominador de $p$, y la más simple de ellas es sólo el denominador de $p$. Tenga en cuenta que esto da lugar a caso 3 como se dio en la pregunta.
En resumen, la idea es esta: Porque sabemos que podemos lidiar con las funciones racionales, buscamos entre la sustitución de los tipos de condiciones para activar el integrando en una función racional.
Como un aparte, un teorema debido a Chebyshev dice que estos casos son los únicos en los que la integral puede ser evaluado en términos de funciones elementales.
