Donde puedo encontrar buenos ejercicios para la geometría algebraica que requieren duras, hormigón de cálculo?

Question

He estado estudiando el esquema de la teoría de Hartshorne y Qing Liu por un par de meses. (Para los que no son grandes fans de Hartshorne, debo señalar que estoy de acuerdo con usted: yo lo uso sólo para los ejercicios.) Ahora tengo una comprensión básica de los conceptos como separatedness y propio, y quasicoherent gavillas, aunque no he llegado a cohomology bastante todavía.

Tengo que hacer todos los ejercicios que no parecen totalmente trivial (y de hecho hay un par de ellos, tanto en los libros de texto). Me siento como esto me ha dado una buena comprensión sólida del material, pero también se nota que es un poco tendencioso. Todos los ejercicios en ambos textos son bastante abstractos. Hago lo que creo que hace que la mayoría de ellos: para cada ejercicio, tiendo a escribir 5-10 página de soluciones que desarrollar cuidadosamente la maquinaria que hace que el problema trivial, y esto ha sido una gran práctica para la amplia realidad de la investigación. Normalmente, un término que se le vienen a la mente que he escuchado, pero nunca estudió y que parece aplicable, y voy a desarrollar ese concepto (o lo que yo creo que el concepto debería ser) hasta que se solucionó mi problema.

A riesgo de repetirme demasiado, estoy muy contento con ciertos aspectos de lo que he conseguido salir de esta, pero también es claramente una muy empobrecida enfoque: un resultado desafortunado es que yo rara vez llegan a sentarse con un verdadero esquema y hacer algo de real en cálculo y explorar un ejemplo real. Me estoy volviendo cada vez más conscientes del hecho de que si yo estábamos ante una situación así, no sabría por dónde empezar.

Así que aquí está mi pregunta.

Hartshorne y Qing Liu tienen esencialmente el mismo problema. También he utilizado Vakil del FOAG, que es notablemente mejor, pero todavía un poco débil en ese departamento. Donde puedo encontrar una colección de ejercicios en la geometría algebraica y esquemas que se me obligan a ensuciarme las manos con algunos de los verdaderos planes, y realmente calcular algo?

Answer 1

Esto no responde a su pregunta, pero: ¿por qué no acaba de empezar a leer los papeles en la geometría algebraica? Usted será rápidamente forzados a venir a los apretones con la "realidad" de esta manera. Mi punto básico es que, si usted ha leído (mucho) Hartshorne y Liu, no necesita más libros de texto; sólo se necesita para empezar a leer algunas investigaciones matemáticas.

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Pero respecto a tu pregunta, ya tienes la respuesta en la mano, a saber: Hartshorne! Los capítulos IV y V son enteramente sobre curvas y superficies, y tienen un montón de discusión concreta de ambos. Si usted tiene éxito en el dominio de este material, usted sabrá mucho de hormigón de la geometría algebraica.

Un típico problema de que es difícil pensar si no sabes nada es: "¿cómo puedo describir una curva típica de género $3$, o $4$"? Después de leer Hartshorne el Capítulo IV, se sabe que las respuestas son "un suave plano de cuarto grado", y "la intersección de una ecuación cuadrática y cúbica hipersuperficie en $\mathbb P^3$", respectivamente. Usted no puede conseguir mucho más concreto que eso. (Y hay muchos ejercicios en el espíritu de tales cuestiones concretas.)

Una cosa es que usted tendrá cohomology coherente de las poleas, pero que no es tan difícil de aprender, y la hermosa aplicaciones en los Capítulos IV y V debe dar suficiente motivación.

Answer 2

Si usted se siente como usted tiene un buen dominio de la materia que ya hemos visto en Hartshorne, pero ahora desea utilizar más específicamente, Matt ha contestado a su pregunta a la perfección. La lectura de los papeles y el segundo de los capítulos de Hartshorne dará muchas aplicaciones de la teoría que hemos visto desarrollado. Sin embargo, si su comando de que el material no es tan bueno como usted los quiere y que desea ver ejemplos y cálculos para mejorar su intuición, a continuación he enumerado algunas de las fuentes que creo que puede ayudar. De hecho, incluso si usted no está luchando, estos libros tienen muchas e interesantes ejercicios concretos.

Tres textos que presentar su material en una forma muy concreta de la moda:

1. Curvas algebraicas por Fulton
2. La Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris
3. Esquemas con Ejemplos y Ejercicios por Görtz y Wedhorn.

No estoy seguro de qué tipo de problemas que usted desea así que he incluido Fulton que es un elemental de introducción a la clásica geometría algebraica (no de los esquemas). A pesar de que el desarrollo de la teoría a través de primarias métodos, usted todavía puede encontrar problemas que involucran el hormigón curvas que creo que usted encontrará muy interesante. Se ve especialmente en los Capítulos 3 (Multiplicidades, la intersección de los números), 5 (el teorema de Bezout, Max Noether del teorema) y 8 (de Riemann-Roch).

Los otros dos están en el mismo nivel como de la otra, que es una presentación de los conceptos básicos de los planes en una forma más concreta de Hartshorne. Una gran cantidad de ejemplos y ejercicios que va a construir la intuición en tanto. Ni cubrir cohomology sin embargo, pero Matt dice Hartshorne le da bien las aplicaciones de cohomology en el segundo de los capítulos, así que debe estar bien.