difícil algebric problema?

Question

Quería saber cómo puedo probar que si

$xy+yz+zx=1$, luego

$$ \frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2} = \frac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}}$$

Lo dejé $x=\tan A$, $y=\tan B$, $z=\tan C$

dado $xy+yz+zx =1$ tenemos $\tan A \tan B+ \tan B \tan C+\tan C \tan A=1$

$\tan C(\tan A+\tan B)=1-\tan A \tan B$ o $\tan(A+B)=\tan(\pi/2 -C)$ tenemos $A+B+C=\pi/2$.

¿qué hacer ahora?

Cualquier ayuda es apreciada.

gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac x{1+x^2}=\frac {\tan A}{1+\tan^2A}=\frac{2\sin A\cos A}2=\frac{\sin2A}2$$

Ahora , $$\sin2A+\sin2B+\sin2C=2\sin(A+B)\cos(A-B)+2\sin C\cos C$$

$$=2\sin\left(\frac\pi2-C\right)\cos(A-B)+2\sin C\cos C$$

$$=2\cos C\{\cos(A-B)+\cos(A+B)\}$$ as $\el pecado C=\sin\{\frac\pi2-(a+B)\}=\cos(a+B)$

$$\implies \sin2A+\sin2B+\sin2C=2\cos C\cdot2\cos A\cos B$$

y $$\frac1{\sqrt{1+x^2}}=\frac1{\sec A}=\cos A$$