Lo que hace irreductible representaciones agradable?

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser una C*-álgebra y $(H,\pi,\Omega)$ cíclica de la representación.

¿Qué intuitivamente significa que si la representación es irreducible? Por lo que he leído, irreductible representaciones son agradables y puedo ser feliz si mi álgebra puede ser representado de tal manera, pero que bonito propiedades hace una representación irreducible de plasmar en realidad?

Answer 1

Me estoy enseñando teoría de la representación, y a mí me parece irreductible representaciones son agradables de dos maneras. (Puesto que usted está hablando acerca de las representaciones de $C^*$-álgebras, podemos restringir nuestra atención a $*$-representaciones, es decir, la representación de aspectos de la involución.)

Extrínsecamente, irreps son agradables como los números primos son agradables ya irreps son los bloques básicos de construcción de representaciones generales. Formalmente, esto se refiere a

Cada representación es una suma directa de representaciones irreducibles.

Así que para el estudio de las representaciones de un álgebra $\mathcal{A}$, se podría tratar de encontrar su irreps, y ver cómo romper una representación general en estos bloques.

Irreps también están bien intrínsecamente. Desde el álgebra actúa transitivamente sobre una representación irreducible, la geometría de una irrep está totalmente determinado por esta álgebra. Usted puede ver sus manifestaciones en el siguiente

$\mathcal{H}$ es una irrep de $\mathcal{A}$ si y sólo si $\mathcal{A}\cdot v$ es denso en $\mathcal{H}$ por cada $v\neq 0$.

O indirectamente, la de von Neumann bicommutant teorema.

Bueno para concluir, irreps son agradables porque son más pequeños posibles representaciones. Los dos anteriores son sólo dos caras de esta pequeñez.

Answer 2

Hui Yu en la respuesta da un poco de motivación para el estudio de las representaciones irreducibles (irreps para abreviar).

Aquí están algunas otras razones.

1.) *Un representante de una $C^*$-álgebra, $\pi:A\rightarrow\mathcal{B(H)}$, es irreducible si y sólo si $\pi|_\Gamma$ es irreductible para cualquier $\Gamma\subset\mathcal{U}(A)$ es un subgrupo de unitaries que generan A. Así irreps de álgebras son intrínsecamente vinculada a las irreps de grupos.

2.) Más allá de un grupo compacto en cada representación es una suma directa de $\textit{finite dimensional}$ irreps. Para obtener más general localmente compacto grupos de la correspondiente declaración es que cada representación es directa integral de irreps (a pesar de lo finito dimensionalidad ya no se sostiene).

3.) El último puede ser considerado como bueno o no es bueno dependiendo de su punto de vista. Si $\pi:A\rightarrow\mathcal{B(H)}$ es irreductible, a continuación, $\pi(A)$ es denso en $\mathcal{B(H)}$ el (débil o fuerte) operador de topología.

Answer 3

Primero de todo, casi cada representación es directa integral (en contraposición a una suma directa) de representaciones irreducibles. Pero esto ha de hacerse precisa. Primero de todos, usted puede tomar la vNa de cierre de $N$ de la imagen y, a continuación, $N$ se descompone en directo integral (no necesariamente único) de los factores. Estos corresponden a la representación irreducible del álgebra $N$ o extremal de los estados en $N$. Usted realmente debe argumentar con $N$, en lugar del original $C^*$-álgebra, creo.

Ahora, los factores que pueden casi clasifican en tres tipos. Así que en ese sentido, se puede obtener una gruesa clasificación de representaciones irreducibles de la vNa.

Answer 4

En relación a la física: dada una representación $\pi: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H})$, un vector $\mathbf{x}\in\mathcal{H} $ define un "estado" (positivo normalizado funcional en $\mathcal{A}$) $\omega_{\mathbf{x}}: \mathcal{A}\rightarrow \mathbb{C}, a \mapsto \frac{1}{||\mathbf{x}||^2} \langle \mathbf{x}|\pi(a)\mathbf{x} \rangle $ donde $\langle \cdot|\cdot\rangle $ es el producto escalar en $\mathcal{H}$. Más estados pueden ser definidos como los llamados de la densidad de las matrices. La idea de este apartado es que una representación da un cierto conjunto de estados en $\mathcal{H}$

Sin embargo, a partir de la definición abstracta de los estados como positivo normalizado funcional en $\mathcal{A}$ se puede definir puros y mixtos de los estados (como extremal puntos en el conjunto convexo de todos los estados y de los puntos en el interior)

• Para una representación irreducible $(\mathcal{H},\pi)$, la distinción puro, mixto y vector de estado/densidad de matrices coinciden. (Para ser completado también debo hablar acerca de la interpretación de "puro" como un "bien preparados" del estado, y se mezclan como "completamente preparado" estado en el que creo que puede ser hecho, matemáticamente, claro, pero...)
• El conjunto de vector de estados, dado por los datos de una representación irreducible es sólo un subconjunto del conjunto de todos los estados. Uno puede mostrar que corresponde a la conexión de un subconjunto de estados puros

Comentarios @owen (no puedo agregar ningún comentario por el momento...): estoy muy interesado en los posibles vínculos con grupos, alguna referencia? Además, he visto que cualquier von Neumann álgebra puede ser obtenida como la commutant de una (tal vez continua?) unitaria representación de un grupo en un espacio de Hilbert