es $\nabla \cdot ( c^2 \nabla)$ una de Laplace-Beltrami operador?

Question

Hice esta en mathoverflow, y se sugirió a preguntar aquí.

Alguien menciona, de paso, para mí eso $u \mapsto \nabla \cdot ( c^2 \nabla u)$ es una de Laplace-Beltrami operador. ¿Alguien tiene alguna información sobre esto? Desde mi entender, el de Laplace-Beltrami operador generaliza el Laplaciano de Riemann colectores, tomando el seguimiento del estado de Hesse. Yo no veo la conexión y en el anterior operador, a menos que c=1.

Este operador proviene de la ecuación de onda, donde $\partial^2_t u -\nabla \cdot ( c^2 \nabla u) = f$. Puede o no ser cierta suavidad condiciones en $c$, y todas estas son funciones en los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$.

Gracias por la ayuda, -Nick

Answer 1

La de Laplace-Beltrami operador, hasta donde yo soy consciente, es "única". Tal vez quiere decir que este operador es un Laplaciano---que es cierto. La idea es que todavía es una divergencia, y por lo tanto (con algunos supuestos sobre el $c$) ojalá elíptica.

La más común la generalización del Laplaciano en esta dirección es el $p$-Laplaciano, en el que usted puede aprender más aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/P-Laplacian. Una simple búsqueda en google para "p laplaciano" también se vuelve un montón de primaria material.

Answer 2

Willie sugerencia en su comentario es un poco engañoso; su operador es equivalente a la de Laplace-Beltrami operador con respecto a algunos (conformemente equivalente) métrica sólo si $c$ es constante.

De manera más general, un operador elíptico $Lf = \operatorname{div} M \nabla f$ $M$ auto-adjuntos y positivo-definida es equivalente a la de Laplace de algunas de las nuevas métricas si y sólo si $\det M$ es constante. Para más información, véase mi respuesta a esta pregunta relacionada con: Generalizada de Laplace--Beltrami operadores