Mostrar $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+3n+1}=\frac{\pi\sqrt{5}}{5}\tan\frac{\pi\sqrt{5}}{2}$.

Question

Cómo mostrar que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+3n+1}=\frac{\pi\sqrt{5}}{5}\tan\frac{\pi\sqrt{5}}{2}$$ ?

Mi intento:

Tenemos $$n+3n+1=\left(n+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(n+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right),$$ así que $$\frac{1}{n^2+3n+1}=\frac{2}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{2n+3-\sqrt{5}}-\frac{1}{2n+3+\sqrt{5}}\right).$$ Entonces, no sé cómo proceder.

Answer 1

Creo que podemos hacer algún uso del teorema del residuo. Escriba $n^2+3 n+1 = (n+3/2)^2-5/4$ y la suma es

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{\left (n+\frac{3}{2} \right )^2-\frac{5}{4}} = \frac12 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac1{\left (n+\frac{3}{2} \right )^2-\frac{5}{4}} - 1 +1$$

(Para obtener la suma doblemente infinita, tuve que agregar los términos $n=0$ y $n=-1$, que resultan sumar cero).

La suma en el RHS puede ser abordada mediante el teorema del residuo, usando lo siguiente:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \pi \sum_k \operatorname*{Res}_{z=z_k} [f(z)\cot{\pi z} ] $$

donde $z_k$ es un polo no entero de $f$. Los polos están en

$$z_{\pm} = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} $$

La suma es entonces igual a

$$\frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \left [\cot{\left (\frac{3 \pi}{2} - \frac{\sqrt{5} \pi}{2} \right )} - \cot{\left (\frac{3 \pi}{2} + \frac{\sqrt{5} \pi}{2} \right )} \right ] = \frac{\pi}{\sqrt{5}}\tan{\frac{\sqrt{5}\pi}{2}}$$

Answer 2

Nota $$ n^2+3n+1=(n+\frac{3}{2})^2+\left(\frac{\sqrt 5i}{2}\right)^2 $$ y y por lo tanto \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+3n+1}&=&\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+\frac{3}{2})^2+\left(\frac{\sqrt 5i}{2}\right)^2}\\ &=&\frac12\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+\frac{3}{2})^2+\left(\frac{\sqrt 5i}{2}\right)^2}. \end{eqnarray} Luego, utilizando el resultado de este, obtendrás la respuesta.