Una infinidad de números primos no puede ser escrito como la suma de tres cuadrados

Question

Demostrar que existen infinitos números primos $p$ tal que $x_1^2+x_2^2+x_3^2 = p$ no tiene soluciones.

Así que mi intento es el siguiente. Echemos un vistazo a los residuos modulo $8$. $x^2$ es $4$ o $1$ mod $8$. De modo que la suma de $3$ plazas no puede darnos residuo por ejemplo,$7$. De acuerdo con el teorema de Dirichlet $8n + 7$ contiene una infinidad de números primos desde $(8, 7) = 1$.

Es esta una buena solución?

Answer 1

El argumento es un buen uno. Nadie puede reemplazar a la apelación del Teorema de Dirichlet por un argumento que utiliza hechos sobre las congruencias de segundo grado que se demuestran en la mayoría de los cursos introductorios.

Vamos a mostrar que hay una infinidad de números primos de la forma $8k+7$. Deje $q_1,q_2,\dots,q_n$ ser primos de esta forma. Nos muestran que hay un primer $p$ es de esta forma que es diferente de todos los $q_i$.

Deje $N=(q_1q_2\cdots q_n)^2-2$. Si $q$ es un divisor primo de $N$, entonces la congruencia $x^2\equiv 2\pmod{q}$ tiene una solución $q_1q_2\cdots q_n$. Desde $N$ es extraño, por un resultado estándar debemos tener $q\equiv \pm 1\pmod{8}$. Pero no todos los primos divisores de $N$ puede ser de la forma $8k+1$, otra cosa $N$ sería de esa forma. Pero no lo es.

Por lo tanto $N$ tiene un divisor primo $p$ de la forma $8k+7$. Está claro que $p$ no puede ser ninguna de las $q_i$.