Estrategias alternativas para el juego de número de adivinanzas

Question

Tomé el siguiente juego de Peter Winkler colección (capítulo "Juegos"):

Dos números son elegidos de forma independiente al azar de la distribución uniforme en [0,1]. El jugador a se ve en los números. Ella debe decidir cuál de ellos para mostrar al jugador B, que al ver, adivina si es de la mayor o menor de los dos. Si lo adivina derecho, B gana, de lo contrario gana. Rentabilidad de un jugador es su probabilidad de ganar.

Para ser claros, permítanme definir una estrategia para la B como (medibles) la función ${f}_{B}:[0,1]\longmapsto \{larger, smaller\}$, es decir, una estrategia para la B especifica "mayor" o "menor" por cada real en [0,1].

Del mismo modo, Una estrategia es una función ${f}_{A}(\{x,y\})$ $=x$ o $y$, es decir, una estrategia para una especifica x o y para cada $\{x,y\}$ donde $x,y\in [0,1]$.

Una estrategia de un (a o B) es llamado un candidato (de equilibrio), si se evita que el oponente de la consecución de una ganancia de probabilidad estrictamente mayor que 1/2 no importa cuál es la estrategia que él (o ella) adopta. Por esta definición, la siguiente estrategia es un candidato (hágalo usted mismo):

"${f}_{A}(\{x,y\})=x$ fib $|x-1/2|<|y-1/2|$"

Mi pregunta: ¿hay otros candidatos para Un jugador, a excepción de aquellos que sólo se diferencian por una medida de ajuste a cero de la anterior?

(P. S., Uno puede mostrar que el candidato para el jugador B es único, excepto por una diferencia de medida de ajuste a cero. Por lo tanto si el candidato para Una es única, no hay una única (puro) de equilibrio.)

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Edit: he Aquí cómo puedo demostrar que el candidato de B es única. No sé si un simple argumento puede ser hecho, o similar razonamiento puede ser utilizada para probar o refutar el caso de A.

Por definición, B de la estrategia es elegir medibles $B_L\subseteq[0,1]$ tal que los informes más grande para $x\in B_L$ y menor de $x\in [0,1]/B_L$. Ahora si $m(B_L)=a>1/2$, Se puede adoptar la siguiente estrategia:

"Mostrar el número más pequeño si tanto $x,y\in B_L$, de lo contrario mostrar el mayor número".

que garantiza su probabilidad de ganar $\geq a^2+(1-a)^2>1/2$. Por lo tanto $m(B_L)>1/2$ no puede ser un candidato para la B. Revertir la estrategia muestra que $m(B_L)<1/2$ no puede ser candidato. Por lo tanto $m(B_L)=1/2$.

Ahora vamos a $m(B_L)=1/2$. Definir $B_S=[0,1]/B_L$. Considere la siguiente especificación incompleta de una estrategia para una:

"Mostrar el número más pequeño si tanto $x,y\in B_L$; mostrar la mayor si ambos $x,y\in B_S$"

que garantiza su probabilidad de ganar $=1$ en esas situaciones. ¿Y el resto de las situaciones, es decir, $x\in B_L$$y\in B_S$?

Para cualquier medibles $B\subseteq B_L$$m(B)>0$, podemos definir a la $C=\{x\in B_S|x>y, \forall y\in B\} $. Supongamos que existe una $B$ tal que $m(C)>0$, se puede adoptar la siguiente estrategia:

"Mostrar el número más pequeño si tanto $x,y\in B_L$, de lo contrario mostrar el número más grande"

que va a garantizar su probabilidad de ganar:

P(ganar)$=$ P(tanto en $x,y\in B_L$ o ambos $x,y\in B_S$ y ganar)$+$ P ($x\in B_L$$y\in B_S$ y ganar) $\ge$ P(tanto en $x,y\in B_L$ o ambos $x,y\in B_S$ y ganar)$+$ P ($x\in B$$y\in C$ y ganar) $=1/2+2m(B)m(C)>1/2$

Por lo tanto, si una estrategia de B es para ser candidato, debemos tener $m(C)=0$. Debido a $B\subseteq B_L$ fue arbitraria, es cierto que el conjunto de $\{x\in B_S|x>y, \forall y\in B_L\} $ tiene medida cero. Por lo tanto, para concluir, condiciones necesarias para una estrategia de B para ser candidato:

1. $m(B_L)=m(B_S)=1/2$.

2. $\{x\in B_S|x>y, \forall y\in B_L\} $ tiene medida cero.

No es sólo una estrategia de B cumplan estas condiciones (hasta para medir la diferencia igual a cero), es decir, $B_L=[1/2,1]$. Para la suficiencia es fácil comprobar que efectivamente este es un candidato. Por lo tanto es el único candidato para la B.

Answer 1

Este es el único candidato para Un hasta conjuntos de medida cero.

Para una estrategia de $\def\fa{f_{\text A}}\fa$ a ser un candidato para Una, los dos conjuntos

$$B_\lessgtr=\{(x,y)\mid y\in M\land f(\{x,y\})=y\land x\lessgtr y)$$

tiene que ser de la misma medida para todos los conjuntos medibles $M\subseteq[0,1]$; de lo contrario $B$ podría hacer mejor que el promedio por siempre adivinando que el número que se presenta es el de menor/mayor cuando se encuentra en $M$.

Para visualizar esto, imagínese la unidad de cuadrados de colores en negro y blanco, con el negro, lo que significa que $\fa$ selecciona $x$ blanco y que selecciona a $y$; luego, a cualquier altura, a excepción de un conjunto de $y$-valores de cero a medida, tiene que ser como mucho de blanco a la izquierda de la diagonal principal como a la derecha.

Ahora dividir la unidad cuadrados en ocho triángulos por las diagonales y el borde bisectrices, y considerar las medidas de blanco para los cuatro triángulos con $x\lt y$: $a_1$ para $y\lt1/2$, $a_2$ para $1-x\gt y\gt1/2$, $a_3$ para$y\gt1-x\gt1/2$$a_4$$x\gt1/2$. Para mayor comodidad, vamos a normalizar estos de tal manera que cada triángulo tiene una medida de $1$. A continuación la imagen en el espejo de el triángulo blanco de medida $a_i$ blanco de medida $1-a_i$. Aplicando ahora el principio anterior para $M=[0,1/2]$ $M=[1/2,1]$ rendimientos, respectivamente,

$$ a_1=1-a_1+1-a_2+1-a_3\;,\\ a_2+a_3+a_4=1-a_4\;. $$

La eliminación de $a_2+a_3$ conduce a $a_1=a_4+1$. Desde $a_1$ $a_4$ entre $0$$1$, esto implica $a_1=1$$a_4=0$. Esto determina la estrategia en la parte superior derecha e inferior izquierda cuartas partes (hasta en un conjunto de medida cero).

Ahora dividir la parte superior izquierda trimestre en cuatro cuadrados iguales y denotan su blanco medidas por $b_1$ a través de $b_4$ en escritura latina, el orden de lectura, con la normalización ajustado a la escala que mida $1$ corresponde a un triángulo que forman la mitad de uno de los cuadrados. A continuación, aplicar el principio de uso de cada uno de los cuatro trimestres de $[0,1]$ $M$ rendimientos, respectivamente,

$$ b_1+b_3=3\;,\\ b_2+b_4=1\;,\\ b_3+b_4=3\;,\\ b_1+b_2=1\;. $$

La primera y tercera ecuaciones de rendimiento $b_1=b_4$, y luego la primera y segunda ecuaciones de rendimiento $b_3=b_2+2$. Desde $b_2$ $b_3$ entre $0$$2$, esto implica $b_2=0$$b_3=2$. Esto determina la estrategia en dos de las cuatro plazas hasta un conjunto de medida cero, y el procedimiento se puede aplicar de forma recursiva para determinar la estrategia en la que sucesivamente más pequeñas plazas restantes. Contables aditividad, la unión de todos los conjuntos de medida cero a la izquierda sobre las etapas de este proceso también tiene medida cero.

Answer 2

Deje $f_0(\{x,y\}) = x $ fib $|x-1/2| < |y-1/2|$. Considere la posibilidad de que el candidato $f_1$ que se desvía de $f_0$ en algunas de las $\{x_1,y_1\}$. Si lo hace, entonces significa que $|x_1-1/2| < |y_1-1/2|$$f(\{x_1,y_1\}) = y_1$, pero entonces la probabilidad de que $f_0$ es la correcta en $\{x_1,y_1\}$ es igual a $$\frac{P(y_1 < x_1 < 1/2) + P(x_1 < 1/2 < y_1) + P(y_1 < 1/2 < x_1) + P(1/2 < x_1 < y_1)}{P(|x_1-1/2| < |y_1-1/2|)} = 1$$ porque de términos $P(y_1 < x_1 < 1/2)$ $P(1/2 < x_1 < y_1)$ que habría estado ausente si $f_1$ no desviarse.

La conclusión es que para cada par $\{x,y\}$ que $f_1$ se desvía de $f_0$ la probabilidad es estrictamente mayor que 1/2, así que se puede dividir el dominio de $f_1$ a $D_1$ siendo los conjuntos de $f_1 = f_0$ $D_2$ siendo todo lo demás y, a continuación, integrar: $$P(f_0 \text{ is correct}) = \int_{D_1}\frac{1}{2}\ dP + \int_{D_2}1\ dP = \frac{1}{2}P(D_1) + P(D_2)\,,$$ pero $P(D_1)+P(D_2) = 1$, por lo que si $P(D_2) > 0$ $P(f_0\ $es correcta$) > 1/2$. Por lo tanto, si $f_1$ se desvía demasiado (es decir, la medida de la $D_2$ es mayor que $0$) entonces existe una estrategia para $B$ probabilidad de ganar estrictamente mejor que $1/2$, y luego por la definición de $f_1$ no es un candidato.

Espero que esta ayuda ;-)

Edit: Solucionado algunos notación de problemas. Además, como se ha señalado por joriki, esta prueba no es completa, porque para $x < 1/2 < y$ estrategia de $f_0$ no soluciona la estrategia del jugador $A$. Esto puede ser solucionado de la siguiente manera: la condición de que no habría ninguna estrategia $f_B$ que aprovecha asimétrica elección si $f_1$ puede ser reformulada en conjunto de fórmulas: \begin{align*} \forall x < 1/2.\ P(f_1(x,y) = x\ |\ y > 1/2) &= x \\ \forall y > 1/2.\ P(f_1(x,y) = x\ |\ x < 1/2) &= 2y-1 \\ \end{align*} que sólo tiene una solución a medida $0$, es decir,$f_0$. De hecho, esta es exactamente la misma que la segunda parte de joriki del post, así que no voy a describir los detalles, su argumento es mucho más fácil que la mía.