Lo que hace la inducción (más de números naturales) una prueba válida de la técnica? Es $$ \dfrac{ P(0) \quad \forall i \in \mathbb{N}. P(i) \Rightarrow P(i+1) }{ \forall n \in \mathbb{N}. P(n)} $$ sólo se da por sentado como una prueba de la regla, o puede ser derivado de la más fundamental axiomas?
Del mismo modo, el principio de inducción bien fundada conjuntos se deriva de algo más fundamental, o tiene que ser asumida como una regla de inferencia válida?
Un punto de vista es que "los números naturales satisfacer la inducción" es parte de lo que queremos decir cuando hablamos de los números naturales; es decir, parte de la definición de "números naturales" deben ser "las cosas que satisfacer la inducción." Esto es sólo un poco más sofisticada versión de "los números naturales son lo que usted consigue cuando usted comienza con $1$, a continuación, agregue $1$ para, a continuación, agregue $1$, entonces..."
Si alguien te dice que los tejones son de color blanco, 200 pies de altura, y brillan en la oscuridad, ni siquiera están equivocados acerca de tejones: lo que significa que por el tejón, no es lo que significa el tejón. Del mismo modo, si alguien te dice que los números naturales no satisfacer la inducción y también incluyen los $-3$ y $\frac{5}{7}$, entonces ni siquiera están equivocados acerca de los números naturales: lo que entendemos por número natural, no es lo que significa ser un número natural.
La gente piensa de axiomas, como las leyes que han de seguir o verdadero cosas que usted tiene que asumir y creo que ninguna de estas perspectivas es la correcta. Es más exacto pensar en axiomas como una manera de estar de acuerdo en que estamos hablando de la misma cosa.
No es una propiedad de los números naturales llamado "buen orden". Se dice que cualquier no-vacío subconjunto de $\mathbb{N}$ tiene un menor elemento. Podemos usar esto para probar la inducción.
Vamos $S = \{ n \in \mathbb{N} \mid \lnot P(n) \}$. Se supone que es no vacío. Entonces existe al menos un elemento; la llamada es de $k$. Dado que $P(1)$ es cierto, sabemos que $k \ne 1$. Por lo tanto,*, $k > 1$, entonces $k - 1 \in \mathbb{N}$. Pero desde $k - 1$ es menos de $k$, que era el mínimo elemento de $S$, sabemos que $k - 1 \noen S$. Por lo tanto, $P(k - 1)$ es cierto. Pero nuestra hipótesis nos dice que $P(k - 1 + 1) = P(k)$ también es cierto. Esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición de que la $S$ no estaba vacía debe ser falsa. Esto significa que $P(n)$ es verdadera para todo $n \in \mathbb{N}$.
La prueba por inducción transfinita en un conjunto ordenado es casi idéntica. La única diferencia es que una vez que usted tiene $k$, estado de todos los elementos menos de $k$ satisfacer $P$, no solo $k - 1$. Pero eso es exactamente su hipótesis inductiva, por lo que obtener el deseado contradicción.
*No hemos demostrado que todos los números naturales son $\ge 1$, pero que también puede ser demostrado con buen orden. Brevemente: Tome el conjunto de todos los $$ n tal que ($0 < n < 1$). Asumir que es no vacío. Tomamos el elemento más pequeño, $k$, y de la plaza para hacer una más pequeña. Desde $0 < k^2 < 1$, esto se contradice con la minimality de $k$. Por lo tanto, que el conjunto está vacío, y no hay números naturales de menos de $1$.
Voy a tratar de dar una "filosófica" respuesta:
Si usted toma la llamada "Platónico" punto de vista que muchos matemáticos parecen compartir más o menos, entonces la matemática es algo que existe en algunos reino fuera de nosotros y puede ser "examinado" por nuestras mentes. Desde este punto de vista los números naturales son una realidad que cada uno vive en la misma forma y la inducción es algo que "obviamente verdad" acerca de ellos. (O, en otras palabras, usted tiene que "creer").
Si, por otro lado, una más formalista punto de vista y se adhieren a Bertrand Russell afirma que la matemática es esencialmente una colección de declaraciones de la forma $\Rightarrow B$, a continuación, antes de iniciar la investigación de un asunto que tratar de encontrar un par de axiomas que describen el objeto de la manera más concisa posible. Si lo haces de esta manera, el principio de inducción (o algo equivalente) es casi siempre un axioma, es decir, algo que no puede ser comprobado.
Un conjunto de axiomas que, en principio, puede ser utilizado como una base para casi todos los de las matemáticas (y es lo que normalmente uso, sin pensar en ello, a menos que usted es un ultrafinitist o fundaciones) es ZFC que incluye un "axioma de infinitud" de la cual la existencia (!) el conjunto de los números naturales y, a continuación, el principio de inducción se pueden derivar.
En algunas zonas de la lógica matemática estás interesado en más "débil" axioma de sistemas para ver lo que puede (y qué no) probar con ellos a solas. Esto se fueron, como los sistemas de la Dedekind-Peano axiomas (también de gran interés histórico) entran en juego, que también incluyen un axioma (o, a veces, todo un esquema de axiomas) para la inducción.
O, para decirlo de modo más llamativo: El principio de inducción dice algo acerca de la infinidad de objetos que significa que usted no puede ni probar ni "check" con finito significa (y que todos nosotros, simples mortales, se puede hacer). La única manera de "demostrar" que es caer de nuevo a alguna otra proposición acerca de una infinidad de objetos que de nuevo no puede ser comprobado.
La inducción matemática es un ejemplo de herencia con respecto a la relación $+1$. En W&R PM, MI es la propiedad que define inductivo cardenales. Algunos cardenales son inductivo; algunos otros cardenales, como $\aleph_0$, son noninductive. Inductivo cardenal es definido como aquel que obedece a MI a partir de $0$, es decir, se trata de uno que posee todos los bienes poseídos por $0$ y por el número que se obtiene mediante la suma de $1$ a los números de la posesión de la propiedad.
Definición de inductivo cardenales:
✳120.01 $NC introducirá = \hat{a}\{ a(+_c 1)_✳ 0\}$ Df
I. e. inductivo números se definen como los antepasados de los $0$ con respecto a la relación $+1$. Inductivo se puede llegar desde $0$ por adiciones sucesivas de $1$.
Definición de la ancestral relación:
✳90.01 $R_✳ = \hat{x}\hat{y}\{x\in C'R:\overset{\sonrisa}{R}"\mu\subconjunto \mu. x\in \mu.\supset_\mu.y\en \mu\}$ Df
I. e. $x$ es un ancestro de $y$ cuando $x$ pertenece al campo de la $R$ y $y$ pertenece a cada hereditaria de la clase a la que $x$ pertenece; una clase hereditaria de ser una clase $\mu$ tal que todos los sucesores de $m$'s con respecto a $R$ son $m$'s
La herencia teorema:
✳90.112 $\vdash: xR_✳y:\phi(z).zRw.\supset_{z,w}.\phi(w):\phi(x):\supset.\phi(y)$
I. e. si $x$ es un ancestro de y con respecto a $R$ e si $\phi$ es una enfermedad hereditaria de los bienes pertenecientes a $x$, entonces $\phi$ pertenece a $y$.
De ello se sigue que si una propiedad es poseída por $0$ y es hereditaria con respecto a $+1$, entonces es poseída por todos los inductivo números.
El siguiente es un extracto del resumen de la PM de la parte III, sección C,
En matemáticas elementales, es habitual considerar la matemática la inducción, tal como se aplica a la serie de los números naturales, como un principio más que una definición, pero de acuerdo con el procedimiento anterior se se convierte en una definición más que un principio.
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