Explícito de la teoría de Galois de computación en cyclotomic campo

Question

Deje $p$ ser un extraño prime. Deje $\zeta=e^{\frac{\pi i}{4 p}}$, lo $\zeta$ es una primitiva $8p$-ésima raíz de la unidad. No hay una única $\mathbb Q$-automorphism $\tau$ del campo de número de ${\mathbb K}={\mathbb Q}(\zeta)$ tal que $\tau(\zeta)=\zeta^{4p-1}$. Tener en cuenta el número

$$ x=\prod_{k=1}^{p} \tan\big(\frac{\pi k}{4 p}\big)=i^p \prod_{k=1}^{p} \frac{\zeta^k+\zeta^{-k}}{\zeta^k-\zeta^{-k}} $$

¿Alguien puede demostrar que $x$ es fijo por $\tau$ (o encontrar un contraejemplo) ? Tal vez esto puede ser hecho por algunos simple álgebra desde el lado derecho por encima, pero yo no podía encontrar la manera de hacerlo.

Answer 1

Primero de todo, $\zeta^{4p} = -1$, lo $\tau(\zeta)=-\zeta^{-1}$, e $\tau$ es una involución.

También, $i = \zeta^{2p}$, por lo que $$ \tau(i) = \tau\zeta^{2}) = \tau\zeta)^{2} = (-\zeta^{-1})^{2} = \zeta^{-2} = i^{-1} =-i. $$ Así $$ \tau(i^{p}) = (-i)^{p} = \begin{cases} -i & \text{if %#%#%}\\ i & \text{if %#%#%} \end{casos} $$

Ahora el $p \equiv 1 \pmod{4}$-ésimo factor en el producto es fijado por $p \equiv -1 \pmod{4}$ $k$ incluso, y cambia de signo al $\tau$ es impar. Hay $k$ números impares en $k$, por lo que $$ \text{producto}\quad \begin{cases} \text{changes sign}&\text{if %#%#%,}\\ \text{is fixed}& \text{if %#%#%.} \end{casos} $$ En definitiva, y salvo errores, parece que su $(p+1)/2$ es de hecho fijo.

Answer 2

$$\tau x=\tau(i)^p\prod_{k=1}^p\frac{\zeta^{4kp-k}+\zeta^{-4kp+k}}{\zeta^{4kp-k}-\zeta^{-4kp+k}}=:I$$

Pero tenemos que

$$i=\zeta^{2p}\Longrightarrow \tau(i)^p=\tau\left(\zeta^{2p}\right)^p=\tau\left(\zeta\right)^{2p^2}=\zeta^{8p^3-2p^2}=e^{p^22\pi i}e^{-\frac{p\pi i}{2}}=\begin{cases}\;i&,\;\;\;p=1\pmod 4\\\!\!\!-i&,\;\;\;p=3\pmod 4\end{cases}$$

$$\zeta^{\pm(4kp-k)}=e^{\pm(k\pi i-\frac{k\pi i}{4p})}=(-1)^ke^{\mp\frac{k\pi i}{4p}}\Longrightarrow \zeta^{4kp-k}+\zeta^{-4kp+k}=$$

$$=(-1)^k\left(e^{-\frac{k\pi i}{4p}}+e^{\frac{k\pi i}{4p}}\right)=(-1)^k\left(\zeta^k+\zeta^{-k}\right)$$

Asimismo, compruebe lo que usted obtiene cuando se aplican $\,\tau\,$ a los denominadores...y listo.