¿Es todo conjunto infinito equipotente a un campo?

Question

Por ejemplo, $\mathbb N$ es equipotente a $\mathbb Q$ que es un campo.

$\mathbb R$ es equipotente a sí mismo, que es un campo.

Pero ¿qué pasa con $\mathbb R^{\mathbb R}$ , $P(\mathbb R^{\mathbb R})$ ¿ etc.?

Answer 1

¿Es cierto que para cualquier conjunto infinito $E$ , el cardinal del campo $\mathbb Q(E)$ es igual al cardinal de $E$ ?

añadido
¿Qué es? $\mathbb Q(E)$ ?
Aquí $E$ se considera un conjunto de "indeterminados". O, si eso no es conveniente, inventar un conjunto de indeterminados quizás con alguna notación como $X_e$ uno por cada elemento $e \in E$ . Entonces $\mathbb Q[E]$ es el conjunto de polinomios en estas indeterminaciones, con coeficientes en $\mathbb Q$ . (Por supuesto, cada polinomio implica sólo un número finito de elementos de $E$ .)

Así que $\mathbb Q(E)$ es un anillo. Es un álgebra sobre $\mathbb Q$ . Es un dominio integral.

Y $\mathbb Q(E)$ es el conjunto de funciones racionales en estas indeterminaciones. En otras palabras, las fórmulas del tipo $f/g$ , donde $f,g \in \mathbb Q[E]$ y $g \ne 0$ .

Así que $\mathbb Q(E)$ es un campo. Tiene el conjunto $E$ (o un conjunto $\{X_e : e \in E\}$ identificado con $E$ ) de elementos mutuamente independientes algebraicamente que lo generan (como campo sobre $\mathbb Q$ ).

Para calcular la cardinalidad de $\mathbb Q(E)$ calcula a su vez: cuántos monomios en $E$ hay; cuántas combinaciones lineales de monomios (es decir, polinomios); cuántos cocientes de éstos (funciones racionales).

Answer 2

Los axiomas de campo son un conjunto contable sobre un lenguaje contable. Como hay un modelo infinito de los axiomas de campo, hay (por Lowenheim-Skolem) un modelo de cada cardinalidad infinita.

Answer 3

Para todo conjunto infinito $X$ hay un campo $\mathbb F$ que es equipotente a $X$ . De hecho, es mucho más cierto. Esto es una consecuencia inmediata de la Teorema de Löwenheim-Skolem . Fijar un campo contable $K$ (por ejemplo $\mathbb Q$ ). Por el Teorema de Löwenheim-Skolem hay alguna $\mathbb F$ tal que $\mathbb F$ es equipotente a $X$ y $K \prec \mathbb F$ . Esto implica que $K$ y $\mathbb F$ tienen la misma teoría y como $K$ es un campo, $\mathbb F$ también es un campo.

Answer 4

Creo que esta respuesta de Gregory Grant es en cierto modo mejor que cualquiera que se base en el teorema de Löwenheim-Skolem, ya que da una construcción explícita de un campo de cardinalidad infinita arbitraria.