Dos mapas conformes $\phi_i : \Omega \to \Omega$ son idénticas si coinciden en dos puntos diferentes

Question

Estoy estudiando algunos análisis complejos para preparar un examen de calificación y estoy haciendo el ejercicio $6.12$ del libro de Robert Greene y Steven Krantz Function Theory of One Complex Variable.

Tengo $\Omega$ un dominio simplemente conectado en $\mathbb{C}$ con $P,Q \in \Omega$ dos puntos diferentes. $\phi_1 : \Omega \to \Omega$ y $\phi_2 : \Omega \to \Omega$ son mapas conformes (es decir, biyectivos y holomorfos) tales que $\phi_1(P) = \phi_2(P)$ y $\phi_1(Q) = \phi_2(Q)$ . Entonces la cuestión es demostrar que $\phi_1 \equiv \phi_2$ .

No sé por qué pero hace tiempo que pienso en cómo enfocar esto sin éxito. He pensado en utilizar quizás el teorema del mapa de Riemann para decir que hay un mapa conforme $\phi:\Omega \to \mathbb{D}$ al disco de la unidad abierta, y cosas similares pero no estoy llegando a ninguna parte realmente.

Por lo tanto, me gustaría que me ayudaran con este problema, tal vez algunas pistas sobre cómo proceder serían muy apreciadas. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

¡Estás en el camino correcto! Tienes que utilizar el teorema de los mapas de Riemann, y el hecho de que todos los mapas conformes $D \to D$ son de la forma $$z \mapsto e^{i\phi}\frac{z+b}{\overline{b}z+1},\: \: \phi \in \mathbf{R},\: \: |b|<1.$$ (Esto es esencialmente el grupo $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ disfrazado, ya que el disco unitario y el semiplano superior son conformes y el grupo de automorfismo de este último es $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ que tal vez sea más fácil de ver).

Si $\sigma : \Omega \to D$ es un mapa conforme, entonces $\sigma\phi_1\sigma^{-1}$ y $\sigma\phi_2\sigma^{-1}$ son mapas $D \to D$ que coinciden en dos puntos diferentes. Ahora puedes utilizar la caracterización anterior para demostrar que deben ser iguales.

Adenda: si $\Omega=\mathbf{C}$ entonces cualquier mapa biyectivo holomorfo $\Omega \to \Omega$ es de la forma $z \mapsto az+b$ y la afirmación también es cierta.

Anexo 2: Aquí está la solución completa como se insinúa en los comentarios. Por lo anterior, nos queda probarlo para el mapa conforme $z \mapsto e^{i\phi}\frac{z+b}{\overline{b}z+1},\: \: \phi \in \mathbf{R},\: \: |b|<1$ . Sus puntos fijos son las raíces del polinomio cuadrático $$z^2+z(1-e^{i\phi})/\overline{b}-e^{i\phi}b/{\overline{b}}.$$

Como el producto de las raíces es el término constante $e^{i\phi}b/{\overline{b}}$ que tiene un módulo $1$ a lo sumo una de las raíces puede tener módulo $<1$ .