La intuición detrás de isomorfismo de variedades algebraicas

Question

Vamos $X \subset \mathbb A^n$, $W \subset \Bbb A^m$ dos conjuntos algebraicos. Una función de $\phi:X \rightarrow W$ es una de morfismos si no existe $m$ funciones polinómicas $f_1,\ldots,f_m \in K[X]$ tal que para cada a $x \in X$ ha $ \phi(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x)) \in W$.

Decimos que dos conjuntos algebraicos son isomorfos si existe una bijective de morfismos entre ellos cuya inversa es también una de morfismos. Ahora, ahora mi pregunta es, ¿qué ismorphism de dos conjuntos algebraicos decir intuitivamente? El significado general de isomorfismo es que son "equivalentes".Así, en qué sentido geométrico dos isomorfo algebraicas conjuntos pueden ser considerados "equivalentes"? En otras palabras.lo geométricas propiedades son las mismas para los dos isomorfo algebraicas? También, puede un conjunto abierto Zariski en una topología de Zariski ser isomorfo a un Zariski cerrado en otra topología de Zariski?

Answer 1

La parte final de la pregunta, como amplificado en el Mohan el comentario, tiene una respuesta afirmativa. $\mathbb A^1-\{0\}$ es abierta y no cerrada en $\mathbb A^1$ pero su imagen, bajo la isomorfo incrustación $x\mapsto(x,0)$ está cerrada y no se abre en $\mathbb A^2-\{(0,0)\}$.

Como para las anteriores partes de la pregunta, isomorfismo significa que los dos conjuntos algebraicos no son sólo de uno-a-uno la correspondencia de cualquier manera, sino en una forma que respete la estructura algebraica. Por "la estructura algebraica" aquí, me refiero a la información que indica que las funciones en el conjunto algebraico son polinomios. La definición de isomorfismo asegura que, si usted tiene una función polinómica en uno de los dos isomorfo algebraicas conjuntos, entonces el transporte de la función para el otro conjunto, por la composición con la bijection $\phi$ o su inverso, se produce un polinomio de la función de allí. (Tanto mi explicación y la definición de la pregunta parece a necesitar un poco de precaución en lo finito de característica, donde un polinomio no está determinada por sus valores).