Caracterización de conjuntos medibles $E$ con $|E|_e<\infty$

Question

Utilizaré la notación de Wheeden y Zygmund Medida e integral porque el problema viene de ese libro: $|\cdot|_e$ para la medida exterior y $|\cdot|$ para la medida de Lebesgue. Un ejercicio dice: demostrar (3.29) y (3.29) es:

Teorema Supongamos que $|E|_e<\infty$ . Entonces $E$ es medible si y sólo si dado $\epsilon>0$ , $E=(S\cup N_1)\setminus N_2$ , donde $S$ es una unión finita de intervalos no superpuestos y $|N_1|_e,|N_2|_e<\epsilon$ .

Lo hice" $\implies$ ", y estaba pensando que " $\impliedby$ "sería más fácil. Pero no lo es después de todo. Agradezco cualquier consejo.

Answer 1

Creo que lo tengo. Ahora el objetivo de mi pregunta (y mi respuesta) es saber si mi prueba es aceptable. Por favor, hágamelo saber en los comentarios. Por supuesto, cualquier otra respuesta es bienvenida.

Dejemos que $\epsilon>0$ . Sea $S'=\bigcup_{k=1}^mI_k$ una unión finita de intervalos no superpuestos; $N_1'$ y $N_2$ tal que $$E=(S'\cup N_1')\setminus N_2$$ y $|N_1'|_e,|N_2|_e<\epsilon/4.$ Entonces $$E=\left[\bigcup_{k=1}^mI_k^\circ \cup \left(\bigcup_{k=1}^m\partial(I_k)\cup N_1'\right)\right]\setminus N_2.$$ Dejemos que $$S=\bigcup_{k=1}^mI_k^\circ \text{ and } N_1=\bigcup_{k=1}^m\partial(I_k)\cup N_1'.$$ Por lo tanto, $S$ es abierta y por la subaditividad y la monotonía de la medida exterior $|N_1|_e<\epsilon/4.$ También $$E=(S\cup N_1)\setminus N_2.$$ Como la medida exterior se define como un inf, existe una colección contable de intervalos abiertos $\{J_k\}_{k\in\Delta}$ que cubren $N_1$ y satisface $$\sum_{k\in\Delta}|J_k|<|N_1|_e+\epsilon/4<\epsilon/2.$$ Dejemos que $O=\bigcup_{k\in\Delta} J_k$ . Entonces $O$ está abierto, $N_1\subseteq O$ y por la subaditividad y monotonía de la medida exterior $$|O\setminus N_1|_e\leq |O|\leq \sum_{k\in\Delta}|J_k|<\epsilon/2.$$

Por otro lado, es posible demostrar que $$(S\cup N_1)\setminus E=(S\cup N_1)\cap N_2\subseteq N_2,$$ y por lo tanto $$|(S\cup N_1)\setminus E|_e\leq |N_2|_e<\epsilon/4<\epsilon/2.$$

Finalmente, $E\subseteq S\cup N_1\subseteq S\cup O$ que es abierto, y por la subaditividad y monotonía de la medida exterior obtenemos

$$\begin{align*} |(S\cup O)\setminus E|_e &= |[S\cup (N_1\cup (O\setminus N_1))]\setminus E|_e\\ &= |[(S\cup N_1)\cup (O\setminus N_1)]\setminus E|_e\\ &\leq |(S\cup N_1)\setminus E|_e+|(O\setminus N_1)\setminus E|_e\\ &\leq |(S\cup N_1)\setminus E|_e+|O\setminus N_1|_e\\ &<\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon. \end{align*}$$

Por lo tanto, $E$ es medible.

Sólo una observación, no he utilizado de la hipótesis $|E|_e<\infty$ . ¿Me estoy perdiendo algo?