Un espacio topológico es un conjunto $X$ y una colección $\Omega$ de subconjuntos de $X$ tal que:
Mi pregunta es, ¿es el conjunto $\Omega$ esencialmente el conjunto potencia de $X$? ¿O es el conjunto potencia de $X$ solo un caso especial de una colección adecuada de subconjuntos de $X$?
El conjunto de potencia de $X$ es un caso especial de tal colección $\Omega,$ llamada la topología discreta en $X$. Todas las topologías en $X$ serán subcolecciones del conjunto de potencia de $X$ (por definición).
Para un ejemplo completamente diferente (al menos, si $X$ tiene más de un punto), considera la topología indiscreta en $X$: $\Omega=\{\emptyset,X\}.$
Me gustaría señalar que la topología discreta es básicamente el caso especial degenerado en el que el espacio ya no tiene propiedades topológicas, sino que solo se comporta como un simple conjunto. En ese sentido, si el conjunto de conjuntos abiertos siempre fuera el conjunto de partes, entonces no necesitaríamos topología...
@leftaroundabout La topología indiscreta/trivial también está en cierto sentido "comportándose como un simple conjunto ordinario". Ambos son adjuntos al funtor olvidadizo que se olvida de la estructura topológica: ncatlab.org/nlab/show/discrete+and+codiscrete+topology
El conjunto de potencia es un buen ejemplo que define un espacio topológico. Esto generalmente se llama topología discreta. ¡Definitivamente no es la única forma de definir una topología!
En el otro extremo, para cualquier conjunto $X$ $\tau=\{\emptyset, X\}$ es una topología en $X$. (¿ves cómo esto cumple todos tus axiomas?)
En general, sin embargo, no nos importan mucho estas topologías ya que sus estructuras no son difíciles de entender. Una gran parte de topologías más interesantes son aquellas que son inducidas por una colección de subconjuntos. Por ejemplo, la topología usual en $\mathbb{R}$ es la topología más pequeña que contiene todos los intervalos abiertos. Puede que no sea obvio que esto no incluya el conjunto de potencia completo, así que una buena manera de convencerte de eso sería considerar un singleton, por simpleza digamos $\{0\}$. Dado que las topologías son cerradas bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas, la pregunta es si podemos expresar $\{0\}$ con una combinación de uniones y solo intersecciones finitas de intervalos abiertos. Sin embargo, cualquier dos intervalos abiertos no disjuntos se intersecan en otro intervalo abierto y cualquier unión arbitraria de intervalos abiertos siempre se puede escribir como una unión disjunta de intervalos abiertos, por lo que terminamos encontrando que los únicos tipos de objetos que obtenemos al hacer cualquier combinación de intersecciones finitas y uniones arbitrarias de intervalos abiertos es una unión disjunta de intervalos abiertos. Dado que $\{0\}$ no es una unión disjunta de intervalos abiertos, $\{0\}$ no es un miembro de nuestra topología.
Sugeriría escribir una demostración de esto (en rigor real) si tienes tiempo, ya que creo que sería un buen ejercicio para ayudarte a tener una idea de por qué las topologías no siempre son solo conjuntos de potencia. ¡Espero que esto ayude!
No hay problema. Una cosa que debería haber mencionado: la razón por la que elegí examinar un singleton es porque si una topología contiene todos los singletons, entonces es la topología discreta, lo que significa que si una topología no es el conjunto potencia completo, entonces debe haber singletons que no están en la topología.
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Puede ser el conjunto de potencia de $X$, pero no necesariamente lo es. Hay muchas topologías diferentes en un conjunto $X$. Siempre es un subconjunto del conjunto de potencia, pero la mayoría de las topologías no están cerradas bajo la toma del complemento.
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¿Por qué esta pregunta tiene tantas respuestas similares?
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@Unidad Todas las respuestas aparecieron justo después de que se publicara la pregunta. Sospecho que estaban siendo compuestas en paralelo. Sé que la mía lo estaba. Las respuestas son similares porque la pregunta tiene básicamente una sola respuesta.
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El requisito es que $\Omega \subseteq \mathcal P (X)$, no $\Omega = \mathcal P (X)$.