Ejemplo de un conjunto $Y$ que tiene cero de la medida de Lebesgue y una función continua $f$ tal que $f(Y)$ no es un conjunto de cero de la medida de Lebesgue.

Question

Podría alguien darme un ejemplo de un conjunto $Y\subset \mathbb{R}$ que tiene cero de la medida de Lebesgue y una función continua $f:X\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $Y\subset X$ $f(Y)$ no es un conjunto de Lebesgue cero medir?

Gracias.

Answer 1

Los diablos de la escalera en el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor es un conjunto null y su imagen es $[0,1]$

El conjunto de Cantor puede ser escrito como todos los $x$ $\mathbb{R}$ tal que $$x=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}$$ donde $a_n\in\{0,2\}$ y sus funciones de mapas de $x$ a $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^{n+1}}$$ al $x$ es en el conjunto de Cantor y el trivial de extensión en $[0,1]$ (Que es constante fuera del conjunto de Cantor).