El objetivo es mostrar que $$ \int_A f(x) \, dx \leq \int_A f(x +a) \, dx $$
vale para cualquier Borel-establecer $A$, porque esto es equivalente a $f(x) \leq f(x +a)$ casi hosco. Vamos a mostrar que este ocupa el primer para abrir intervalos, entonces para cualquier conjunto abierto, y entonces para cualquier borel.
Su suficiente para demostrar la desigualdad de la $f^+$ $f^-$ seperatly, por lo tanto es suficiente con sólo probar el caso en que $f \geq 0$.
Paso 1: Abrir Los Intervalos De
Tome $a \in \mathbb{R}_+$. Entonces existe una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{Q}$ $a_n \uparrow a$ con
$$ f(x+ a_n) \geq f(x) .$$
En particular, obtenemos $$ \int_I f(x) \, dx \leq \int_I f(x +a_n) \, dx $$ for each interval $I=[x_1,x_2]$. Further, since $f \L_{col}^{1}(\mathbf{R})$ recibimos del teorema de convergencia dominada
$$ \int_I f(x+ a_n) \, dx = \int_{x_1}^{x_2} f(x + a_n) \, dx = \int_{x_1 + a_n}^{x_2 + a_n} f(x ) \, dx \to \int_{x_1 + a}^{x_2 + a} f(x) \, dx = \int_I f(x+ a) dx. $$
Así tenemos
$$\int_I f(x) \, dx \leq \int_I f(x+a) \, dx $$ for each interval $[x_1,x_2]$. Since $\lambda(\{x_1,x_2\})=0$ we have $$\int_{[x_1,x_2]} f(x) \, dx = \int_{
(x_1,x_2)} f(x) \, dx $$ y por lo tanto la desigualdad anterior es también válido para cualquier intervalo abierto.
Paso 2: Abrir Conjuntos De
Dado cualquier conjunto abierto $A$. Nos encontramos con una contables de la unión de abiertos disjuntos intervalos de $I_i$ $$ A = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} I_i $$
(Cualquier subconjunto abierto de $\Bbb R$ es en la mayoría de los contables de la unión de distintos intervalos abiertos. [Recopilación De Pruebas]).
Desde $f \geq 0$ tenemos
$$ \int_A f(x) \, dx = \sum_{i \in \mathbb{N}} \int_{I_i} f(x) \, dx \leq \sum_{i \in \mathbb{N}} \int_{I_i} f(x+a_n) \leq \int_A f(x+a_n) $$
desde el monotoic teorema de convergencia. Tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación podría ser $\infty$.
Paso 3: Borel-conjuntos
Dado cualquier Borel-establecer $A$. Desde el exterior de la regularidad usted puede encontrar una secuencia de bloques abiertos $U_i$$1_{U_i} \downarrow 1_A$. El uso de la convergencia monótona da el resultado esperado.
