ln(z) como antiderivada de 1/z

Question

Al integrar $$\frac{1}{x}$$ (donde $x \in \mathbb{R} $ ) se obtiene $$ln|x|+c$$ ya que para $x>0$ $$(ln|x|+c)'=(ln(x)+c)'=\frac{1}{x}$$ y para $x<0$ $$(ln|x|+c)'=(ln(-x)+c)'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}$$

Así que mi primera pregunta es: ¿Por qué leo en todas partes que la antiderivada de $\frac{1}{x}=ln(x)$ ?

En segundo lugar, al asumir $z \in \mathbb{C}$ que definimos en la conferencia $$Ln_\phi(z)=ln|z|+i\varphi, \varphi \in (\phi,\varphi+2\pi]$$ donde $\varphi=arg(z)$ .

La pregunta es: $$\int{\frac{1}{z}dz}=?$$ Si sólo pretendiera como $z \in \mathbb{C}$ que se traduce en $$\int{\frac{1}{z}dz}=Ln_\phi|z|=ln|z|$$ o es $$\int{\frac{1}{z}dz}=Ln_\phi(z)=ln|z|+i\varphi$$ Obviamente, las dos "soluciones" no son iguales en general, así que me pregunto cuál (o ninguna) es la correcta y por qué.

Gracias.

Edición 1

$\frac{1}{z}=[z=x+iy]=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$ Así que $u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$ y $v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}$ . $$u_x=\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$ y $$v_y=-\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$ por lo que la primera ecuación $u_x=v_y$ se cumple para $x\neq0,y\neq0$ . $$u_y=-\frac{2yx}{(x^2+y^2)^2}$$ y $$v_x=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ por lo tanto $u_y=-v_x$ para otra vez $x\neq0, y\neq0$ que finalmente se traduce en $\frac{1}{z}$ siendo holomorfo en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$

Edición 2

Considere $$\int_\gamma{\frac{z}{z^2+2}dz}$$ donde $\gamma$ es una integral de línea de $z=i$ a $z=i+2\pi$ que no contenga $z=\pm \sqrt{2}i$ lo que significa que en una zona de ajuste la integral no depende de la trayectoria y, por tanto, puede evaluarse como $$\int_i^{2\pi}{\frac{z}{z^2+2}dz}$$ Ahora necesitaría una antiderivada de $\frac{z}{z^2+2}$ ;es la solución entonces $$\int_i^{2\pi}{\frac{z}{z^2+2}dz}=\frac{1}{2}ln(z^2+2)$$ o $$\int_i^{2\pi}{\frac{z}{z^2+2}dz}=\frac{1}{2}ln|z^2+2|$$ ?

Answer 1

Se busca una función holomorfa $f$ para que $f'(z) = \frac 1z$ . Sin embargo, $f$ no puede definirse en $\mathbb C \setminus \{0\}$ : Si $f$ se define en $\mathbb C\setminus \{0\}$ Consideremos dos formas de evaluar la integral de línea

$$\int_\gamma \frac 1z dz, $$

donde $\gamma(t) = e^{it}$ para $t\in [0,2\pi]$ . Por un lado,

$$\int_\gamma \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} i dt = 2\pi i \neq 0$$

mientras que

$$\int_\gamma f'(z) dz = f(\gamma(2\pi))- f(\gamma(0)) = 0$$

por el cálculo del teorema fundamental. Así que para encontrar una antiderivada de $\frac 1z$ necesitamos especificar una rama. En ese caso, $Ln (z)$ será una opción.