Estoy estudiando para un graduado de la escuela examen preliminar, y se topó con este problema que no puedo resolver.
Deje $C$ ser una curva cerrada en el plano de la $ax + by + cz = 0$ (donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ no son todos cero $0$), adjuntando una región con el área de $S$. Evaluar $$ I:= \cualquier\limits_C \left| \begin{array}{ccc} dx & dy & dz \\ a & b & c \\ x & y & z \end{array} \right| $$
donde la integral a lo largo de $C$ es hacia la izquierda respecto a la dirección normal $(a,b,c)$ a del plano.
Expandiendo el determinante de los rendimientos $$ I = \cualquier\limits_C (bz - cy)dx + (cx - az)dy + (ay - bx)dz. $$
Si llamamos a $\Omega$ la región delimitada por $C$, una aplicación del Teorema de Green (o Teorema de Stokes, si prefiere) los rendimientos $$ I = 2\iint\limits_\Omega un dydz + bdzdx + c dxdy. $$
A partir de aquí, no estoy seguro de qué hacer; sospecho que es una solución sencilla y que he olvidado mi cálculo vectorial. De todos modos, cualquier ayuda es muy apreciada.
EDIT: Sustituir en $z = \frac{1}{c}\left(-ax - by \right)$ y, a continuación, aplicar el Verde del Teorema no se me acercaron. Haciendo la sustitución de un producto de los rendimientos de $$ I = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{c} \iint_\Omega dxdy $$
Si $c \neq 0$ como se requiere para hacer la sustitución de un producto, no es el caso que $\iint dxdy = S$.
SEGUNDA EDICIÓN: he resuelto el problema, haciendo uso de la siguiente versión de Stokes teorema: $$ \iint_\Omega (\nabla \times \mathbf{F} ) \cdot \mathbf{n} dS = \oint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. $$
Lo anterior puede ser escrita como \begin{align*} I &= \oint\limits_C (bz - cy,cx - az,ay - bx)\cdot d\mathbf{r} \\ &= \iint_\Omega (\nabla \times (bz - cy,cx - az,ay - bx)) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}(a,b,c)\right) dS \\ &=\iint_\Omega (2a,2b,2c) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}(a,b,c)\right) dS \\ &= 2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \iint_\Omega dS \\ &= 2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} (\text{Area of } \Omega) \end{align*}
