Elementos centrales en el Diedro Grupo de orden 2n

Question

Continuando con mi independientes viaje a través de "Álgebra Abstracta" (ver esta pregunta anterior para el contexto y la notación), en el que estoy trabajando:

Si $n = 2k$ es incluso y $n \geq 4$, muestra que (a) $z = r^k$ es un elemento de orden 2 (b) conmutan con todos los elementos de a $D_{2n}$ (Diedro grupo de un n-ágono regular). Muestran también que (c) $z$ es la única que no es elemento de identidad de $D_{2n}$ que conmutan con todos los elementos de a $D_{2n}$.

(a) $z^2 = (r^k)^2 = r^{2k} = r^n = 1$, por lo que el orden de $z$ divide a 2.
$\quad\quad$ Hace la hipótesis de que la $n \geq 4$ entran en juego aquí?

(b) los Elementos en $D_{2n}$ son de la forma $r^i$ o $sr^i$, $0 \leq i \leq n - 1 $

$\quad\quad$ Para los elementos $r^i$, tenemos: $zr^i = r^kr^i = r^{k + i} = r^{i + k} = r^ir^k = r^iz$,
$\quad\quad$ $z$ viajes con estos elementos.

$\quad\quad$ Para los elementos $sr^i$, estoy un poco confundido (aún tratando de recordar lo que debe ser demostrado!):

$\quad\quad$ $zsr^i = r^ksr^i = (r^ks)r^i = (sr^{-k})r^i = sr^{-k + i}$
$\quad\quad$ Aún $sr^iz = sr^ir^k = sr^{k + i}$
$\quad\quad$ Los dos no parecen iguales a mí, así que me debe faltar algo?

(c) La única cosa que viene a la mente es el argumento de que la identidad de un grupo es único,
$\quad\quad$ , pero estoy teniendo un tiempo difícil generalizar/extender este concepto a este grupo.

Gracias de antemano por las sugerencias!

Answer 1

Para (a), si n es par y menor que 4, entonces n = 2 (y usted tiene el no-grupo cíclico de orden 4, el grupo de simetría de un poco extraño "digon") o n (no es positivo, y no hay diedro grupo. A algunas personas no les gusta incluso a llamar a la diedro grupo de orden 4 un diedro grupo. La conclusión de (a) y (b) es verdadera cuando n=2, pero (c) no lo es.

Para (b), supongo que usted está preocupado sobre el reclamo de r^k = i^(-k), como el resto de la expresión es la misma (y por lo tanto podrían ser canceladas). Sin duda diferente, pero si consideramos la relación especial de k y n tienen, creo que voy a ver que son la misma.

Para (c), tengo que admitir que me gustaría utilizar la descripción de diedro grupos de orden 2n, que consta de n rotaciones y n flips. "Adyacentes" flips (para n≥3) no conmutan, por lo que no flip está en el centro. Si la rotación es en el centro, entonces debe ser la misma que la de su tirón. Sólo una rotación r^K podría satisfacer r^K = i^(-K), y esta es la idea clave de (b): K=k tiene una relación muy especial para n.

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Conceptual de la cosa para más tarde: cuando usted mira "normalizadores" y "centralizadores" uno realmente extraño y útiles cosa es que el normalizador de un grupo de orden 2 es siempre igual a su centralizador. Esta es la razón por la z está en el centro: z*z = 1, y z es normalizado por la mueve de un tirón.

Answer 2

(a) El hecho de que el orden es exactamente $2$ (y no simplemente divide $2$) sigue ahora, simplemente, porque el orden de $r$ es exactamente $n$, e $0\lt k\lt n$, lo $z=r^k\neq 1$.

No, la hipótesis de que la $n\geq $ no afecta el hecho de que $z$ es de orden $2$. Esto se aplica en todos los diedros de los grupos. Esta hipótesis tiene que ver con (c) (por ejemplo, si usted toma el $D_4$, entonces cada elemento de viajes con todos los otros elementos, como usted debe tener problemas de verificación, por lo que la afirmación en (c) sería falsa).

(b) Recuerde que la parte (a)! Se demostró que el $z^2 = e$, lo $z=z^{-1}$. Eso significa que $r^k = (r^k)^{-1} = r^{-k}$. Ha $z(sr^i) = sr^{-k+i} = sr^{-k}r^i$; pero desde $r^{-k}=r^k$, entonces...

(c) Que ya han demostrado que cada elemento de viajes con $r^k$. Ahora lo que necesita para demostrar que si $s^jr^i$, $0\leq j\leq 1$, $0\leq i\leq n-1$ viajes con todo, cualquiera de las $s^jr^i = r^k$ o $s^jr^i = 1$.

Mostrar que si $0\lt i\lt n$, e $r^i$ viajes con $s$,$i=k$. Que se demuestra que el único poder de $r$ que conmuta con todo lo que es $r^k=z$ (esto es donde usted tendrá que $n\geq 4$).

Ahora a pensar acerca de los elementos de la forma $sr^i$. Si viajan con todo, entonces ellos deben de viajar con tanto $s$ e con $r$. Así, por ejemplo, debe tener ese $s(sr^i) = s^2r^i = r^i$ es igual a $(sr^i)s = s^2r^{-i} = r^{-i}$; cuando tienes $r^i = r^{-i}$? Así que whittles de los posibles elementos que pueden viajar con todo. Y ahora, ¿qué sucede cuando se compute $r(sr^i)$$(sr^i)r$? Cuándo, si alguna vez, ¿le da la igualdad?