Número finito de subgrupos $\Rightarrow$ grupo finito

Question

Estoy tratando de probar que cualquier grupo $G$ de orden infinito tiene un número infinito de subgrupos.

Creo que si el grupo tiene un elemento de orden infinito, entonces es fácil porque puedo tomar los grupos generados por las potencias de este elemento.

¿Y si no es así? Todo elemento genera un subgrupo cíclico. Todo elemento pertenece al menos a un subgrupo cíclico (el generado por él mismo). Así que el grupo es la unión de sus subgrupos cíclicos. Si todos ellos son finitos, tendríamos que tener una colección infinita de subgrupos de todos modos.

¿Es eso correcto?

Answer 1

Sí, es correcto, aunque quizás algo desorganizado.

El hecho de que un grupo sea la unión de sus subgrupos cíclicos se mantiene independientemente de cualquier hipótesis sobre el grupo. Así que puedes afirmar y demostrar eso primero.

Entonces: un grupo cíclico infinito tiene infinitos subgrupos (cíclicos). Por tanto, un grupo es infinito si y sólo si tiene infinitos subgrupos cíclicos: Si el grupo es finito, entonces sólo tiene un número finito de subconjuntos, por tanto un número finito de subgrupos, por tanto un número finito de subgrupos cíclicos. Si el grupo es infinito, entonces al ser una unión de sus subgrupos cíclicos, o bien uno de los subgrupos cíclicos es infinito (y por tanto habrá infinitos subgrupos cíclicos, ya que que subgrupo tiene infinitos subgrupos cíclicos), o bien hay infinitos subgrupos cíclicos finitos en la unión. En cualquiera de los dos casos se ha terminado.

Ese es su argumento, sólo que organizado un poco más.

Answer 2

Puede que esté simplificando demasiado, pero me parece que si G tiene infinitos elementos, tiene un número infinito de subgrupos cíclicos, uno por cada g en G.