Para todos los $x,y\in G$ tenemos: $f(xf(y))=f(x)y$. ¿Demostrar que $f$ es un isomorfismo?

Question

Deje $G$ ser un grupo y $f : G \to G$ una función tal que para todos los $x,y\in G$: $$f(x f(y)) = f(x) y.$$

Demostrar que $f$ es un isomorfismo.

Hay dos problemas aquí: no sabemos que $f$ es un grupo homomorphism, y no sabemos que es bijective, las dos condiciones necesarias para $f$ a ser un isomorfismo.

Es difícil resolver este problema porque no sabemos la fórmula para $f$, sólo una ecuación se satisface. Directamente demostrando que el kernel es trivial, o que cada elemento está en la imagen va a ser difícil.

Answer 1

Tenga en cuenta primero que $f(e) = e$.

Esto es porque $$f(f(e)) = f(e f(e)) = f(e) e = f(e),$$ and then also $% $ $f(f(e)) = f(f(f(e))) = f(e f(f(e))) = f(e) f(e) = f(e)^{2}.$

A continuación mostramos que $f \circ f = 1$, el mapa de la identidad.

Esto es porque $f(f(y)) = f( e f(y)) = f(e) y = e y = y$.

Así $f$ es biyectiva y un homomorfismo, como $$ f(x y) = f (x f(f(y))) = f (x) f(y). $$

Answer 2

Podemos empezar por demostrar que $f$ es una biyección. Que $y\in G$ ser arbitraria. Entonces, $$f(e f(f(e)^{-1}y))=f(e)f(e)^{-1}y = y$$ holds, so $f $ is surjective. (Where $e$ es el elemento de identidad.)

Para demostrar que $f$ también es inyectiva, supongamos que $f(x) = f(y)$. Entonces tenemos $$f(ef(x))=f(ef(y))$$ which means that $$f(e)x=f(e)y.$$ It follows that $x = y $, so $f # $ es inyectiva.

A continuación, observe que $$f(f(e))=f(ef(e))=f(e)e=f(e).$$ Since $f $ is injective, we may conclude that $ f (e) = e $. This further implies that $$f(f(x))=f(ef(x))=f(e)x=x.$$ Finally, $$f(xy)=f(xf(f(y)))=f(x)f(y),$$ so $f # $ es un homomorfismo y hemos terminado.