Evaluando $ \int_0 ^1 \int_0 ^1 e^{ \max\ {x^2,y^2\}\,} \mathrm dx\, \mathrm dy$

Question

La integral de nuevo por conveniencia es $$ I= \int_0 ^1 \int_0 ^1 e^{ \max\ {x^2,y^2\}}\, \mathrm dx\, \mathrm dy $$ Mis pensamientos: Ignorando por un momento que la región es un rectángulo, esperaba que moverse a las coordenadas polares pudiera ayudar. Esto da $$ I= \int_0 ^1 \int_0 ^{2 \pi }re^{r^2 \max\ { \cos ^2 t, \sin ^2t\}} \, \mathrm dt \, \mathrm dr $$ Entonces desde $| \cos t| \geq | \sin t|$ para $t \in D_1=[- \frac { \pi }{4}, \frac { \pi }{4}] \cup [ \frac {3 \pi }{4}, \frac {5 \pi }{4}]$ pero no para $t \in D_2=[ \frac { \pi }{4}, \frac {3 \pi }{4}] \cup [ \frac {5 \pi }{4}, \frac {7 \pi }{4}]$ Creo que podemos romper $I$ en $$ I= \left [ \int_0 ^1 \int_ {D_1}re^{r^2 \cos ^2 t}\, \mathrm dt\, \mathrm dr \right ] \left [ \int_0 ^1 \int_ {D_2}re^{r^2 \sin ^2 t}\, \mathrm dt\, \mathrm dr \right ] $$ Aparte del problema de que la región no es la misma, estoy atrapado aquí. ¿Está el trabajo de arriba en el buen camino? ¿Cómo evalúo para $[0,1] \times [0,1]$ ? ¡Gracias!

Answer 1

No utilice coordenadas polares: Los rectángulos son mal para coordenadas polares.

---

Tienes una definición a trozos que está dificultando las cosas, así que usa cada parte del dominio por separado. Divide la integral en dos regiones, por encima y por debajo de la diagonal del cuadrado unitario. En la mitad inferior,

$$\int_0^1 \int_0^x e^{\max\{x^2, y^2\}} dy \, dx = \int_0^1 \int_0^x e^{x^2} \, dy \, dx = \int_0^1 xe^{x^2} \, dx$$

La mitad superior es similar.

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que

$$I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy+\int_0^1\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$$

Ahora, intercambia el orden de integración en la segunda integral.