No estoy pidiendo para la prueba, sólo pido una explicación simple o la intuición de esta condición. ¿Qué representa?
Teorema $1.1.$Let $f$ $∂f/∂y$ ser funciones continuas en el rectángulo $R = [−a, a]×[−b, b]$. Entonces hay un $h ≤ a$ tal que existe una solución única al % ecuación diferencial $dy/dt = f(t, y)$con condición inicial $y(0) = 0$ % todos $t ∈ (−h, h)$.
Geométricamente, se nos da un campo de dirección $f(t,y)$, y buscamos una curva integral $y(t)$ (más posiblemente más pequeños de la región) que es tangente a la pendiente de las líneas definidas por $f(t,y)$.
¿Qué sucede si $f$ no es continua?
Considere la posibilidad de la educación a distancia $f(t,y) = \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t+1}$ con condición inicial $y(0) = 0$. No es continua en a $t=-1$ (ver línea vertical, una curva integral que es tangente no puede existir).
Sin embargo, en el intervalo de $t \in [-0.5, 0.5]$ es. Por lo tanto, está vinculada con $|f(t,y)| \leq \frac{1}{-0.5+1}=2$, y geométricamente, $f(t,y) = \frac{dy}{dt}$ es la pendiente de cualquier solución de $y$ pasando a través de $(0,0)$, por lo que la solución está contenida en el área gris.
¿Qué sucede si $\frac{\partial f}{\partial y}$ es infinita en algún momento?
Considere la posibilidad de la educación a distancia $$f(t,y) = \sqrt{|y|}, \qquad\qquad y(0) = 0$$
Aunque continuo, el derivado $\frac{\partial f}{\partial y}$ es discontinuo, en particular infinito en $y= 0$. Al menos dos de las curvas de pasar a través de $(0,0)$, es decir, $$y(t) \equiv 0 \qquad \qquad y(t) = \begin{cases}\frac{t^2}{4} \quad \mbox{if } t\geq 0\\ -\frac{t^2}{4} \quad \mbox{otherwise}\end{cases}$$
Intuitivamente, la irregularidad de las transiciones de la pendiente de las líneas de $f(t,y)$ $y = 0$ (debido a la $\frac{\partial f}{\partial y}$ ser infinito) aquí permite distintas curvas integrales (que siguió a diferentes pendiente de las líneas de fuera) para combinar en y = 0. Por ejemplo, para cualquier $C \geq 0$ incluso $y(t) = \begin{cases}0 \qquad &\mbox{for}\ t< C\\\frac{(t-C)^2}{4} \qquad &\mbox{for} \ t\geq C \end{cases}$ o de otras combinaciones son soluciones.
Por qué asumiendo $f$ $\frac{\partial f}{\partial y}$ continua es (más que) suficiente?
El avance rápido de la idea principal
Si dos curvas de $y_n, y_m$ están cerca, podemos suponer que la pendiente de las líneas de $f(t, y_n), f(t, y_m)$ a ser proporcionalmente cerca. Esta es la clave de la asunción (Lipschitz), también implícita si $f$ $\frac{\partial f}{\partial y}$ se supone continua. Pero no descarta la posibilidad de niza nondifferentiable funciones como $f(t, y) = |y|$.
Si $Ay_n, Ay_m$ son dos curvas que siguen la pendiente de las líneas de $f(t,y_n), f(t, y_m)$, entonces podemos mostrar como resultado se obtendrá estrictamente más cerca unos de otros más de $y_n, y_m$ . Es decir, $y_n, y_m$ obtiene contratado en $Ay_n, Ay_m$.
Cualquier asignación de contracción $A$ tiene un único punto fijo $y$$Ay = y$, es decir, $y = y_0 + \int_{t_0}^tf(\tau,y)d\tau$ o $\frac{dy}{dt} = f(t,y)$.
Cómo seguir la línea de la pendiente, sucesivamente?
Picard idea es encontrar curvas de $y_i$ tangente a la pendiente de las líneas definidas por $f(\tau,y_{i-1})$ de las soluciones, es decir,$\frac{d y_i}{dt} = f(t, y_{i-1})$, de modo que podemos definir: $$y_i(t) = Ay_{i-1}(t) := y(t_0) + \int_{t_0}^t f(\tau,y_{i-1}) d\tau$$
Considere la posibilidad de la educación a distancia $\frac{dy}{dt}=f(t,y) = y$,$y_0 = 1$. Las sucesivas soluciones son fácilmente calculada a partir de la asignación de Picard: $y_1 = Ay_0 = 1 + t$, $y_2 = 1 + (t + t^2/2)$, ... es decir, $y_n = \sum_{i=0}^n t^n/n!$ todos los $n$, que es la expansión de la serie de $e^t$.
Clave de herramientas técnicas: la distancia y puntos fijos
Podemos medir la distancia entre dos (continua en un intervalo acotado) funciones en el momento que le da el máximo valor (a través de la sup de la norma, lo que resulta en una muy bien portado espacio de funciones) $$d(y_a, y_b) = \| y_a - y_b\|_\infty := max_{t \in [a,b]} | y_a(t) - y_b(t)|$$
(En la figura, estaríamos comparando las funciones a $t = 4$)
Si un mapa de $A: M \to M$ siempre los contratos de la distancia entre dos puntos cualesquiera (funciones en este bonito completar el espacio), es decir, $d(Ay_a, Ay_b) \leq \lambda d(y_a, y_b)$ algunos $0\leq\lambda < 1$, entonces un único punto fijo $y^* = Ay^*$ existe El Punto Fijo de Banach teorema de
En un poco más de detalles
Como f, $\frac{\partial f}{\partial y}$ continuo, a continuación, $\frac{\partial f}{\partial y}\leq K$ es acotado, y con el valor medio teorema implica $\|f(t,y_a) - f(t, y_b)\| \leq K \|y_a - y_b\|$ para cualquiera de las dos funciones de $y_a, y_b$ (continuidad Lipschitz).
Por lo tanto, $$d(Ay_a, Ay_b) \leq \int_{t_0}^t \| f(t, y_a) - f(t,y_b) \| d\tau\leq K \int_{t_0}^t \|y_a - y_b\|d\tau \leq K \alpha d(y_a, y_b)$$ que los contratos (posiblemente en un intervalo menor) al $Ka < 1$.
Por lo tanto, la Picard mapa de $A$ definido fue de hecho una contracción, dando el único punto fijo $y = Ay = y_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, y)d\tau$.
*Un montón de detalles que se omiten, justificando donde $Ay_a$ es, la reducción de tamaño de la región, la más débil de Lipschitz de la asunción... entre otros. Un intuitivo pero rigurosa introducción, consulte "Ordinario Ecuaciones diferenciales, V. I. Arnol d"
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
