Ejemplos más simples de situaciones del mundo real que pueden ser representados con elegancia con números complejos

Question

Las matemáticas podría ser definida como el estudio de los definidos formalmente abstracciones. Estas abstracciones pueden o no ser útiles para describir el mundo real del fenómeno. De hecho, la Física podría ser definido como el subconjunto de las Matemáticas que hace describir el mundo real del fenómeno.

Los enteros junto con las operaciones de adición o multiplicación - son increíblemente versátiles, y los niños saben intuitivamente cuando esta abstracción es la adecuada:

Los Números Reales, Conjuntos, Vectores y aún más complicadas estructuras matemáticas han obvia e intuitiva mundo real correspondencias.

Desde mi experiencia con hablar con la gente acerca de "números imaginarios", la confusión es causada más a menudo que no, por la palabra "imaginario" y su difícil implicaciones filosóficas. Si sólo me podría explicar que son tan "reales" como todas las abstracciones que usar todos los días!

Así que para ayudar a explicar el punto de vista de que los números complejos y sus operaciones asociadas son simplemente otra utilidad de abstracción que puede ser aplicado de la misma manera como el más familiar de los tipos de número:

¿Cuáles son algunos fáciles de comprender situaciones del mundo real que puede ser elegantemente abstraído y representado por los números complejos?

Actualización

Puedo ver cómo esta pregunta es similar a este pero de forma sutil y que es fundamentalmente diferente. Esta pregunta es de simple el mundo real de las situaciones. Que pregunta para aplicaciones sencillas y ha recibido un montón de respuestas acerca de cómo los números complejos elagently lidiar con otros matemáticos abstracciones. Las principales respuestas son todos refiriéndose a simple áreas de las matemáticas, donde los números complejos se pueden aplicar.

Answer 1

En realidad una gran cantidad de de ingeniería de dominios de uso de números complejos (en los circuitos, mecánica, oscilaciones, etc..) por ejemplo phasors

La razón de hacer esto es porque los números complejos por De Moivre del teorema se relacionan muy bien para señales periódicas y sistemas, y tratados con las operaciones de multiplicación y adición etc..

También muchas fórmulas trigonométricas se simplifican si se expresa en forma compleja (relacionado con lo que se dijo antes).

De hecho, estas son ejemplos de aplicaciones del mundo real de los números complejos.

ACTUALIZACIÓN: Otro ejemplo de la vida real complejo aritmética es reloj-como la aritmética (sth similar al modulo de la aritmética de los enteros). Significado de los números de la forma $e^{ia}$ donde a es un real número. Estos números se constituye un grupo de ($U(1)$) en el grupo unitario de 1 parámetro y también es una Mentira grupo. Uno puede pensar en él como un homólogo de $\mathbb{Z_p}$ modular grupo, pero con los números reales.

NOTA realista/enfoque constructivista mathematcal entidades no necesitan ser restringida en los números naturales solamente. Dado interpretaciones (e.g como un proceso) en efecto realista de las representaciones de estas entidades no sólo son posibles, pero realizable así.

Answer 2

Es poco probable que realmente "mundo real" ejemplos se puede encontrar fuera de la bien conocida científicos y de ingeniería de aplicaciones. Ejemplo de una situación del mundo real requeriría una colección de "rotación" de las operaciones que se pueden combinar en dos formas diferentes: composición (número complejo multiplicación) y la adición.

Circular o periódico de fenómenos que admiten rotaciones se pueden encontrar en la naturaleza ejemplos de la vida real, pero tener cualquier operación de adición en todos los (distintos de la realización de una rotación después de la otra) es bastante raro que es difícil llegar con ejemplos. Tener las dos operaciones no sólo existen sino que obedecen a la ley distributiva es muy restrictiva y que parece ocurrir sólo en muy estructurado y mathematized situaciones cuya representación abstracta puede ser reformulado el uso de los números complejos.