¿Qué dice este físico?

Question

No quiero envenenar este foro con política. Pero quiero entender, precisamente, lo que se quiere decir con la afirmación en negrita. La hace un físico que trabajaba en Harvard sobre la relación entre las matemáticas puras y la física.

Al final del capítulo 3 aparece una pregunta orientada a la física: ¿Estamos objetos continuos o de secuencias finitas de símbolos secuencias finitas de símbolos que hablan del continuo?

Es una buena pregunta y me inclino por lo segundo. Si hablamos de cosas específicas, estas cosas específicas son siempre contables porque deben poder ser descritas por una secuencia finita de símbolos. Incluso cuando hablamos de intervalos de números reales que posiblemente contengan un un número incontablemente infinito de números reales, aún debemos especificar los del intervalo mediante una secuencia finita de palabras o símbolos. y tales secuencias son "discretas", es decir, "contables".

Por eso tiendo a considerar que el hecho mismo de que los números reales sean que los números reales sean incontables no es más que una curiosidad lingüística. números reales reales y bien definidos que se pueden encontrar forman un un conjunto contable. Por eso la incontabilidad de los números reales - y toda la disciplina matemática basada en esta clai esta afirmación formalmente demostrable y otras similares. de física".

Aquí es el enlace al blog completo. Si quieres más contexto, te sugeriría que empezaras a leer por la parte del "Capítulo 2 habla de conjuntos, sus elementos...".

Parece que se refiere a los símbolos y la notación que escribimos para describir los números reales. Pero la parte en negrita se refiere explícitamente al conjunto de los números reales.

Answer 1

Está diciendo que el números definibles son contables. En cierto sentido, no podemos hablar directamente de un número real que no sea definible. (Sin embargo, podemos hablar del configure de números reales incluso sin poder hablar de cada uno de sus elementos individualmente).

La cita parece abogar por alguna forma de finitismo .

Answer 2

Sin entrar a juzgar, creo que lo que el físico llama la atención es el conjunto de Números computables que es contable. Tales números son los que pueden calcularse, con precisión arbitraria, utilizando un ordenador. Su argumento es que la mayoría de los números reales no son computables, y aboga por restringir la atención a tales números.

Un ejemplo comparable es el de un conjunto no medible o ultrafiltro no principal objetos cuya existencia puede demostrarse mediante el Axioma de Elección, pero que no pueden construirse explícitamente (ya que sin el Axioma de Elección no existirían).

Este punto de vista está relacionado con constructivismo matemático una filosofía defendida por una minoría de matemáticos.

Answer 3

Hay una refutación directa: muéstrame el método por el cual se contarían los "números reales reales bien definidos". Si usted tiene un método real bien definido para enumerar los números reales, entonces puedo invocar el argumento diagonal de Cantor para mostrarle uno que se perdió. :)

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Aunque no creo que sea muy conocida, existe otra interpretación de la noción de cardinalidad: que habla de complejidad en lugar de talla .

En un contexto finitista con el que estoy un poco familiarizado (basado en las máquinas de Turing y la computabilidad), es casi trivial encontrar una suryección parcial del "conjunto" de números naturales al "conjunto" de números reales.

Sin embargo, en este entorno, no siempre se puede saber@ si un número natural concreto se convierte en un número real, o si dos números naturales diferentes se asignan al mismo número real. Por tanto, el "conjunto" de números reales sigue siendo no se puede contar -- el conjunto sigue siendo incontable en el único sentido que tiene sentido en esta configuración.

@: No sólo quiero decir que es difícil: quiero decir imposible . por ejemplo, el "problema de la parada".

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Sin embargo En el ejemplo anterior, se puede "revelar" que los números computables son contables mirándolo desde alguna perspectiva externa -- por ejemplo, si usamos ZFC como fundamento de la teoría de la computación, entonces los reales computables son contables, pero sólo en el sentido de contabilidad que tiene sentido en ZFC@.

Esto revela un aspecto sutil de esta cuestión: hay muchas maneras de referirse a palabras como "contable", y es muy fácil mezclarlas. De hecho, es muy fácil ni siquiera ser consciente que hay múltiples cosas que uno podría querer decir.

Mi consejo general es tomarse estas afirmaciones con humor. Aunque creo que suele haber algún ángulo por el que tales afirmaciones tienen sentido (¡y a veces el orador es incluso consciente de ello!), rara vez está claro cuál es ese ángulo. Si crees que merece la pena entender las opiniones de un escritor, es mejor ignorar los comentarios chocantes y centrarse en intentar adquirir conocimientos a partir de la forma en que realmente utiliza sus opiniones para resolver problemas. (lo que posiblemente requiera incluso traducir ejemplos del idioma en el que piensa el escritor al modo en que tú ves las cosas).

@: Esto se vuelve especialmente confuso cuando hay múltiples modelos de ZFC en discusión. Por ejemplo, busque "paradoja de Skolem".

Answer 4

Como otros han dicho, en este extracto, parece que quiere decir algo así como:

• El conjunto de números computables es contable
• El conjunto de los números definibles es contable
• El conjunto de números que pueden ser "experimentados" en cualquier sentido por un ser humano dotado de los sentidos habituales es finito

Sin embargo, continúa diciendo [mi énfasis]

[...] el hecho [...] de que sólo hablemos de secuencias finitas de símbolos no significa en absoluto que las matemáticas discretas y sus axiomas deban ser el fundamento de la física. Incluso cuando digo que hablamos de secuencias finitas de un conjunto discreto, sigue siendo importante lo que decimos de ellas. Y para hacer física, debemos organizar estas secuencias y "objetos discretos" de tal manera que hablen de propiedades de objetos continuos porque, en última instancia, éstas son fundamentales en física como sabemos por muchas razones generales.

Así que hablar utiliza secuencias finitas de un conjunto contable pero en física, sigue importando lo que estamos diciendo, y si no estamos diciendo cosas sobre estructuras intrínsecamente continuas y propiedades que pueden tener las estructuras continuas, ¡será inválido o no fundamental como charla sobre física!

Después de analizar esto, me da la impresión de que en realidad está diciendo que la lógica proposicional y el lenguaje de las matemáticas (y del lenguaje natural) implica escribir y trabajar con secuencias contables de símbolos . Parece que le parece bien hablar de continuos utilizando un marco tan "discreto". ( Editado para evitar discusiones con André (véanse los comentarios).

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Por cierto, un inciso,

Por eso la incontabilidad de los números reales [...] no tiene implicaciones para "hablar de física".

parece algo muy impar. Todo el lenguaje de la física se establece en el lenguaje de $\mathbb R$ y si decidiéramos resolver problemas físicos hablando sólo de un subconjunto contable estaríamos bastante locos.

Answer 5

Este problema está estrechamente relacionado con la lógica matemática y la noción de definibilidad y verdad.

Una vista es a través del Teorema de Löwenheim-Skolem en lógica matemática, que establece que

si un primer orden contable teoría tiene un infinito modelo entonces para cada infinito número cardinal κ tiene un modelo de tamaño κ.

Esto tiene consecuencias algo contraintuitivas, por ejemplo que cualquier teoría de los números reales (o incluso la teoría de conjuntos) tiene un modelo contable. O que cualquier teoría de los números naturales tiene un modelo incontable.

Digamos que tenemos un modelo contable de una teoría de $\mathbb{R}$ . ¿Significa esto que todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ ¿son contables? No. Estamos viendo sólo un modelo posible de la teoría. Todos los subconjuntos son contables sólo cuando este modelo particular se ve desde fuera. Pero cuando se ve desde "dentro" de este modelo, todavía no podemos construir una biyección entre $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ y $[0,1]\subset\mathbb{R}$ . Esto se debe a que el modelo no contiene tal biyección (aunque tal biyección existe cuando se mira desde fuera - no está disponible dentro del modelo). La existencia de los objetos o su definibilidad es diferente cuando se mira desde fuera de un modelo concreto que cuando se mira desde dentro de la teoría.

Por lo tanto, es un poco impreciso decir simplemente que sólo hay un número contable de números reales. Lo que es "contable" depende de si trabajamos dentro de una teoría o si damos un paso "fuera" en la nivel meta .

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Estas situaciones o paradojas se dan a menudo en lógica. Por ejemplo Segundo teorema de incompletitud de Gödel afirma que una teoría (razonable) no puede demostrar su propia consistencia. Pero, por supuesto, podemos demostrar su consistencia desde fuera, por ejemplo, incrustando la teoría en alguna otra teoría más sólida.

Ver también La paradoja de Berry : el menor número entero positivo no definible en menos de doce palabras . La clave es que la noción de "definible" es diferente cuando se observa desde fuera y cuando se construye dentro de la teoría (por ejemplo utilizando Numeración de Gödel ).