Si $T$ está acotado y $F$ tiene un rango finito, ¿cuál es el espectro de $T+F$ ?

Question

Supongamos que $T$ es un operador acotado con espectro finito. ¿Qué ocurre con el espectro de $T+F$ , donde $F$ tiene un rango finito? ¿Es posible que $\sigma(T+F)$ tiene un interior no vacío? ¿Es siempre como máximo contable?

Actualización : Si $\sigma(T)=\{0\}$ entonces $0$ está en el espectro esencial de $T$ ( $T$ no es invertible en el álgebra de Calkin), por lo que para cualquier compacto $K$ , $\sigma_{ess}(T+K)=\sigma_{ess}(T)=\{0\}$ . Para los operadores de tal manera que el espectro esencial es $\{0\}$ se sabe que su espectro es finito o consiste en una secuencia que converge a $0$ . Creo que debería ser lo mismo para los operadores con espectro finito, pero no encuentro una prueba o referencia.

Answer 1

Respuesta corta: $\sigma(T+F)$ es a lo sumo contable y por tanto tiene el interior vacío.

Teorema (Teoría espectral de los operadores lineales de V. Muller III.19.4): Sea $T\in\mathcal{B}(X)$ , dejemos que $G$ sea un componente de $\mathbb{C}\setminus\sigma_e(T)$ . Entonces, o bien $G\subset\sigma(T)$ o $G\cap\sigma(T)$ consiste en un número contable de puntos aislados como máximo.

Combinando lo anterior con el espectro esencial, como usted señala, obtenemos: $\sigma_e(T+F) = \sigma_e(T) \subset \sigma(T)$ que es finito. Entonces $G = \mathbb{C}\setminus\sigma_e(T+F)$ es un componente conectado y $\sigma(T+F)\setminus\sigma_e(T+F)$ es a lo sumo contable y todo aislado.

También podría encontrar que el espectro debe ser finito, pero no se me ocurre cómo demostrarlo.

Answer 2

Siempre es cierto si $T$ es autoadjunto. Aquí hay un teorema que te puede interesar:

Si $T$ es autoadjunto, un número complejo está en el espectro de $T$ pero no en su espectro esencial si es un valor propio aislado de $T$ de multiplicidad finita.

El resultado se encuentra en la página 32 de Analytic K-homology de Nigel Higson y John Roe.