Problema de límites difíciles

Question

Encontrar el límite de

$$\lim_{x\to0}\left[1 + \left(\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}\right)^2 \right]^2$$

Cualquier ayuda sería apreciada completamente.

Answer 1

Aplique de $$\lim_{x\to0}\left[1 + \left(\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}\right)^2 \right]^2$ $ $$\left[1+\lim_{x\to0}\left(\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}\right)^2 \right]^2$ $ $$\left[1+\left(\lim_{x\to0}\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}\right)^2 \right]^2$ $ L'Hopital $$\left[1+\left(2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\tan(x/2)}\right)^2 \right]^2$ $ L'Hopital $$\left[1+\left(4\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sec^2 x}{\sec^2(x/2)}\right)^2 \right]^2$ $ $$\left[1+\left(4\cdot\frac{\sec^20}{\sec^20}\right)^2 \right]^2$ $ $$\left[1+\left(4\cdot\frac{1}{1}\right)^2 \right]^2=289$ $ se aplican

Answer 2

Indirecta: utilice el hecho eso $$ \log x \sim_{x\to 1} x 1\\ \cos u = _ {u\to 0} 1 - \frac{u^2}2 + o(u^2) $$

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entonces obtendrá $$ \log \cos x \sim-\frac{x^2}2\\ \log \cos \frac x2 \sim-\frac{x^2}8\\ \frac{\log \cos x} {\log \cos \frac x2} \to 4 $$

por lo que el límite final es de $$ (1 + 4 ^ 2) ^ 2 = 17 ^ 2 = 289 $$

Answer 3

De el Taylor se comporta fórmula $\log(\cos x)$ $x^2/2$ cerca de 0, por lo tanto, el límite es de $(1+4^2)^2=17^2$.

Answer 4

$t=\cos(x/2)\to 1$

$\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}=\frac{\log 2\cos^2 (\frac{x}{2})-1}{\log \cos(x/2)}=\frac{\log 2t^2-1}{\log t}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\log \cos x}{\log \cos(x/2)}=\lim_{t\to 1}\frac{\log (2t^2-1)}{\log t}=4$ regla de L'Hospital.

Utilice la regla compuesta del límite.

Answer 5

Sugerencias:

As $x \to 0$, $$\ln \cos x \sim \cos x-1 \sim -\frac{x^2}{2}$$