La singularidad de la Matriz de Rotación 3D

Question

Dado un $3D$ matriz de rotación $R$ en una base $B$ . ¿Podemos considerar $R$ como único en $B$ ? ¿Hay algún otro $3D$ matriz de rotación $R'$ representando la misma $3D$ rotación en $B$ ? ¿Cómo podría probar eso?

Nota: No considero que la matriz de rotación $R'$ con el eje invertido y el ángulo como el mismo que $R$ .

Answer 1

Supongamos que la matriz $R$ para una rotación dada no es única y existe otra matriz $Q\neq R$ que realiza exactamente la misma rotación. Esto significa que

$\forall \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n:\quad Q\mathbf{v}=R\mathbf{v}$

y por lo tanto

$\forall \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n:\quad (Q-R)\mathbf{v}=\mathbf{0}$

Esto significa que el espacio nulo de $M=(Q-R)$ (el subespacio de todos los vectores cuya imagen es el vector cero) tiene que consistir en todo el $\mathbb{R}^n$ (y por lo tanto tiene una dimensión de $n$ por supuesto). El teorema de la nulidad ahora afirma, que el rango de $M$ es la diferencia de su dimensión y la dimensión de su espacio nulo, en este caso $0$ . Pero también, sólo la matriz cero tiene un rango de $0$ .

Esto significa que la ecuación anterior sólo es válida para $(Q-R)=O$ (con $O$ siendo el $n\times n$ matriz cero), lo que a su vez implica $Q=R$ . Esto contradice la suposición. Así que cada rotación (de hecho cualquier transformación lineal) en $\mathbb{R}^n$ corresponde a un único $n\times n$ (para una base determinada $B$ por supuesto). Además, cada matriz ortogonal $R\in\mathbb{R}^{n\times n}$ con $\det R=1$ representa una rotación única en $\mathbb{R}^n$ (de nuevo para una base determinada $B$ de $\mathbb{R}^n$ ).

De hecho, la representación matricial es aún más única que la representación eje-ángulo o cuaternión (por no hablar de las ambigüedades de los ángulos de Euler), ya que debido a la periodicidad del $\sin$ y $\cos$ utilizado en la representación matricial no tiene la ambigüedad del ángulo, porque $R(\theta)=R(\theta+2\pi k)$ . Y ni siquiera tienes la ambigüedad de que el eje y el ángulo negados (o el cuaternión negado) sean la misma rotación (lo que has outrado especialmente en tu pregunta), porque sus representaciones matriciales son de hecho las mismas.

Answer 2

Creo que es importante señalar que, aunque la matriz de rotación $\mathbf{R}$ es única para todos los vectores $\mathbf{v}$ para una tupla de vectores dada, $\bar{\mathbf{v_A}}$ y $\mathbf{v_A}$ un número infinito de matrices de rotación $\mathbf{R}_i$ que satisfaga:

$ \mathbf{v_A} =\mathbf{R}_i \bar{\mathbf{v_A}} $

ser $\mathbf{v_A}$ el vector de posición de un punto determinado, $A$ en el espacio 3D en un marco global, $\bar{\mathbf{v_A}}$ el vector de posición del mismo punto, $A$ en un marco local, y $\mathbf{R}_i$ la matriz de rotación entre ambos sistemas de referencia.

Esta afirmación es fundamental si el requisito es obtener esa matriz de rotación a partir de la tupla de matrices, ya que si no se tiene en cuenta conduciría a un número infinito de soluciones.

Para calcular $\mathbf{R}_i$ un sistema de ecuaciones sobredeterminado (con al menos tres tuplas de matrices) debe resolverse utilizando, por ejemplo, métodos de mínimos cuadrados para obtener finalmente esa matriz de rotación única.