Función integrable de Lebesgue sobre frente al $(0,1)$ $[0,1]$

Question

Hasta ahora, pensé decir $u \in L^2([0,1])$ es lo mismo que decir $u \in L^2((0,1))$, porque veo gente enfatizando «$u$ es Lebesgue integrable en $[0,1)$».

Pensé que el punto entero de la integral de Lebesgue es que null juegos no importan, por lo que no importa si el extremo está incluido o no. ¿Qué me perdí?

Answer 1

La expansión en @MichaelBurr comentario: $L^2[0,1]$ no consta de funciones, pero en lugar de equivalente de las clases de funciones. Decimos que dos funciones son de la misma clase de equivalencia si el conjunto que no están de acuerdo es nulo.

Como tal, cuando decimos $1/\sqrt[4]{x}$ es un miembro de $L^2[0,1]$, lo que estamos diciendo es que en una clase de equivalencia que contiene una función de cuadrado integrable.

Una tal función sería la $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1/\sqrt[4]{x} & x \neq 0\\ 0 & x=0\end{array}\right.$$

Dado que de acuerdo a la medida de Lebesgue $\{0\}$ $\{1\}$ son ambos nulos, no hace una diferencia cuando se considera $L^2(0,1)$, $L^2[0,1)$ o $L^2[0,1]$. Literalmente son diferentes, ya que las funciones están definidas en diferentes dominios. Sin embargo, ya que la diferencia en sus dominios es null no hay ninguna diferencia cualitativa.

Si estuviéramos hablando de otra medida, como $\delta_0$, tendríamos que ser más cuidadoso. $\delta_0(A) = 1$ si $0 \in A$ $\delta_0(A)=0$ si $0\not\in A$. Ahora vamos a considerar la medida de $\mu = m + \delta_0$ (la suma de la medida de Lebesgue y $\delta_0$).

Ahora los espacios $L^2( (0,1], \mu)$ $L^2( [0,1], \mu)$ son diferentes, no sólo literalmente, sino cualitativamente. Esto es debido a que el conjunto $\{0\}$ es no nulo.

Answer 2

Depende de cómo se define el $L^2(X)$. Una manera de definir el $L^2(X)$ es como el conjunto de todas las funciones medibles $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $|f|^2$ es integrable sobre $X$. Es, sin embargo, más estándar para ver los $L^2(X)$ a ser el conjunto de clases de equivalencia de funciones cuyo dominio es $X$ y son de cuadrado integrable sobre $X$. Dos funciones de $f$ $g$ se consideran equivalentes si $f$ $g$ sólo se diferencian en un conjunto de medida cero. Vamos a aprovechar esta segunda definición.

Ahora, vamos a $Y$ ser una medida cero subconjunto de $X$ y considerar la posibilidad de $L^2(X\setminus Y)$. Aunque las clases de equivalencia de funciones en $L^2(X)$ $L^2(X\setminus)$ son diferentes (son clases de equivalencia de conjuntos diferentes de funciones).

Hay, sin embargo, un bijection $L^2(X)\simeq L^2(X\setminus Y)$. El mapa de $L^2(X)\rightarrow L^2(X\setminus Y)$ es la imagen de la restricción de una función en $X$ $X\setminus Y$bajo la relación de equivalencia. El mapa en la otra dirección, toma una clase de equivalencia en $L^2(X\setminus Y)$ con el representante de $f$ a la clase de equivalencia de la función $$ \widetilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)&x\in X\setminus Y\\0&x\in Y\end{casos}. $$ Uno puede mostrar que este mapa está bien definida (no depende de la elección de $f$) y $\widetilde{f}$ es de cuadrado integrable en $X$. Estos dos mapas también son inversos el uno del otro.

Tenga en cuenta que la elección de $0$ $x\in Y$ es arbitraria, ya que $Y$ es un conjunto de medida cero, por lo que el valor en $Y$ es irrelevante. También, algunas personas toman este natural bijection como una identificación y permitir $L^2(X)$ a de clases de equivalencia de funciones que se definen en casi todas partes en $X$ y son equivalentes si están de acuerdo en toda la medida de subconjuntos.