Referencia de las densidades y pseudoforms y representaciones no tensorial de $\operatorname{GL}(n)$ y paquetes de vectores asociados

Question

Estoy buscando una referencia que me corrigieron en un par de cosas.

Empezó con densidades. En John Lee el libro de "Introducción a la Suave Colectores", densidades en espacios vectoriales son las funciones que cumplen $$\mu(Tv_1,\dotsc,Tv_n)=|\det\; T\,|\;\mu(v_1,\dotsc,v_n)$$ for $T:V\to V$. They're like volume forms composed with absolute values. Densities are defined on manifolds and transform the obvious way under changes of coordinates. They're nice because you can integrate them in the absence of an orientation. And they're natural because the structure group is an irreducible representation of $\operatorname{GL}(n)$.

Esta representación es un poco desconocido en el que no se construye a partir del tensor de productos fundamentales de la rep y su doble. Una de las razones por las que simétrica y antisimétrica de tensores en un colector es importante, porque su estructura grupos pertenecen a las representaciones irreducibles de $\operatorname{GL}(n)$. Buscando en google para obtener más información sobre el tema déjame a un viejo USENET hilo donde he aprendido, entre otras cosas, que las cosas que recoger una señal de bajo negativo determinante de cambio de base se llama pseudoforms, no densidades. Cualquier (simétrica, antisimétrica, forma, vector, etc.) puede ser convertido en "pseudo" por tensoring con el determinante paquete. Las densidades son las cosas con un exponente en su cambio de base de las fórmulas, y estos también forman una irrep de $\operatorname{GL}(n)$. Jet paquetes son otro ejemplo de un paquete cuya estructura de grupo no es un producto tensor

Yo me quedo con algunas preguntas

1. ¿Cuáles son las densidades? Son lo Lee dice, o lo que el USENET de los chicos dicen? Existen diferentes convenciones? Si usted utiliza la palabra "densidad" de Lee definición, entonces ¿cómo se llama la cosa con el exponente?
2. Hay otros nontensorial representantes de la densidad y pseudoforms? ¿Qué acerca de jet haces?
3. ¿Qué acerca de un representante de la universalización de la cobertura de $\operatorname{GL}(n)$? Yo sé que para $\operatorname{SO}(n)$ esto nos da spinor reps. ¿Qué acerca de la $\operatorname{GL}(n)$?
4. ¿Y qué acerca de $\operatorname{SO}(n)$ y subgrupos de $\operatorname{GL}(n)$?
5. Me gustaría que un buen texto de referencia que cubre este material en profundidad. Especialmente en cuanto se refiere a la topología diferencial en las suaves y colectores. Encontré algunos un libro sobre la teoría de la representación de la Mentira de los grupos que demostró la irreps de $\operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$, pero era difícil de entender.

Answer 1

Una elegante definición de densidades se sigue de un buen pedazo de álgebra lineal inventado por Mumford , que se puede encontrar en una nota a pie de página (!) página 88 de su libro de geometría Algebraica yo .
(No hay ningún volumen II: como alguien comentó, el Infierno está pavimentado con volúmenes I...).

Considere la posibilidad de un verdadero espacio vectorial $V$ de la dimensión 1.
Mumford asociados a otro espacio vectorial $|V|$ de la dimensión 1, cuyos vectores son símbolos $r|v|$ donde$r\in \mathbb R$$v\in V$.
La igualdad de vectores se sigue del axioma
$$s|rv|=s|r||v| \quad (*)$$

en que $r,s \in \mathbb R, \; v\in V \;$ y donde, por supuesto $|r|$ es el valor absoluto del número real $r$.
Para cualquier $v\neq 0\in V$, el elemento $|v|\in |V|$ es una base de $|V|$.

Por supuesto, si usted quiere configurar esto con rigor, no debería hablar de símbolos, pero el libre espacio vectorial con base $V$ y dividir por el hyperplane creado por las relaciones$(*)$

El volumen de los elementos de la $n$-dimensional espacio vectorial $E$ son los elementos de Mumford $|\wedge^n E^*$| asociado a la parte superior exterior del producto $\wedge^n E^*$ de el doble de $E$.
Puesto que todo esto es completamente canónica, se extiende a los vectores haces en un $n$-dimensiones del colector $M$ y se puede definir densidades como las secciones de la línea bundle $|\mathbb \Omega^n(M)|$ asociado a la línea bundle $\mathbb \Omega^n(M)$ de formas diferenciales de grado máximo .

Answer 2

He encontrado este recurso en el MIT OWC: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-712-introduction-to-representation-theory-fall-2010/lecture-notes/MIT18_712F10_ch4.pdf

Contiene un teorema que establece que todo polinomio irreducible representaciones de $\text{GL}(n)$ son de la forma de un tensor simétrico rep tensored con una potencia de el determinante de la representación. Según Wikipedia la definición, pero no se Lee, que el poder de el factor determinante que hace que este es un densidad.

Esto es un avance hacia lo que estoy buscando. Creo que yo podría estudiar este recurso y aprender sobre el polinomio representaciones de $\text{GL}(n).$ Pero supongo que el $|x|$ no es un polinomio en a $x$, por lo que el "pseudo" los representantes de ventas no se encuentra aquí. Esa es una parte importante de mi pregunta.