Partícula en una caja 1-D y el principio de correspondencia

Question

Consideremos la partícula en una caja 1-d, conocemos muy bien las soluciones de la misma. Me gustaría ver cómo la principio de correspondencia funcionará en este caso, si consideramos la función de densidad de probabilidad (pdf) de posición de la partícula.

En el caso clásico, bajo la ausencia de cualquier potencial, es justo asumir la posición pdf $P_{classic}$ de la partícula sea constante dentro de la caja y cero fuera de ella.

En el caso cuántico sabemos que es $$P_{quantum}(x) = \frac{2}{L} \sin^2(\frac{n\pi x}{L})$$ dentro de la caja y cero fuera.

Una imagen vale más que mil palabras, así que aquí cojo una imagen de una web universitaria (en realidad de google) por la que doy las gracias a los autores.

De la imagen podemos ver que cuando consideramos un número cuántico suficientemente grande $n$ vemos que el $P_{Quantum}$ sigue sacudiéndose y no importa lo grande que sea $n$ que consideramos, no deja de dar tumbos y no se molesta en converger a $P_{classic}$ pero el consuelo es que coinciden en un sentido medio.

Idealmente, para un problema tan fundamental como éste, esperaría que la función $P_{quantum}(x)$ para converger a $P_{classic}(x)$ , punto de vista . ¿Estoy pidiendo demasiado? Hay infinidad de tipos de $P_{quantum}$ que se ajusta a $P_{classic}$ en un sentido medio, por lo que eso significaría que puede haber un número infinito de teorías mecánicas cuánticas que obedezcan el principio de correspondencia en la correspondencia media, lo que creo que no es una propiedad muy atractiva de una teoría.

Mi pregunta es, ¿qué podemos hacer para que el pdf converja puntualmente al pdf clásico?

Answer 1

Cabe señalar que, aunque la PDF cuántica sigue presentando flujos rápidos, éstos llegan a ser de muy alta frecuencia, y cuando se pasa a medir la distribución con un instrumento físico se introduce una resolución.

En algún momento esa resolución llega a ser mucho mayor que la longitud de onda de los flujos y de hecho se detecta la distribución clásica.

Answer 2

Mi pregunta es, ¿qué podemos hacer para que el pdf converja puntualmente a el pdf clásico

Respuesta : Nada, si se aceptan los principios cuánticos.

A continuación puede ver otro ejemplo con el oscilador armónico, con $N= 50$ y se ve el mismo comportamiento que le preocupa (comportamiento clásico en azul, comportamiento cuántico en rojo):

La razón fundamental es que la Mecánica Cuántica trata de amplitudes de correlación y amplitudes de probabilidad, por lo que los conceptos estadísticos clásicos como las probabilidades de correlación o las probabilidades son una visión "infantil" del mundo físico. Por lo tanto, no se puede evitar el "jaleo". El enfoque más simple es que las amplitudes de las probabilidades, o las amplitudes de correlación, para los estados ligados, son "naturalmente" oscilantes, esto se ha traducido en las probabilidades como oscilaciones entre los valores cero y "máximo", mientras que, para los grandes números cuánticos, una "media" se parece a una probabilidad clásica.