No, el eigenbasis no es inestable como el Hamiltoniano se aproxima el momento del paso a nivel, y esto puede ser visto por considerar una aproximación adiabática que desacopla el cruce de dos niveles de energía del resto$\def\ket#1{|#1\rangle}\def\bra#1{\langle#1|}.$
Cómo uno puede ser engañado en el pensamiento de la eigenbasis es inestable
En primer lugar, considerar por qué uno podría pensar que los vectores propios son inherentemente inestables. Deje $\ket{E_0}, \ket{E_1}$ $E_0$- vector propio y $E_1$-autovector respectivamente, y deje $R: \mathbb C^2 \to \mathcal H$ ser un operador de asignación $\ket0 \mapsto \ket{E_0}$ $\ket{1} \mapsto \ket{E_1}$ respectivamente. La tasa de cambio de $R$, uno se podría imaginar, se relaciona directamente con la rapidez de los autoestados cambio:
$$ \ket{\dot E_j} = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Bigl[ R \ket{j} \Bigr] = \dot R \ket{j} .$$
Tenga en cuenta que debido a $R^\dagger R = 1$ por construcción, no han
$$ 0 = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl[ R^\dagger R \Bigr] = \dot R^\dagger R + R^\dagger \dot R ,$$
lo que implica que $R^\dagger \dot R$ es anti-hermitian. Para llegar a la tasa de cambio de $R$, considerar el hecho de que
$$ H = R D R^\dagger $$
para $D = \mathrm{diag}(E_0,E_1)$, por lo que
$$ \dot H = \dot R D R^\dagger + R \dot D R^\dagger + R D \dot R^\dagger ,$$
lo que implica que para distintos $j,k \in \{0,1\}$,
$$\begin{aligned}[b]
\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}
&= \bra{E_j} \dot R D \ket{k} + \bra{j} \dot D \ket{k} + \bra{j} D \dot R^\dagger \ket{E_k}
\\&=E_k \bra{j}R^\dagger \dot R \ket{k} + E_j \bra{j} \dot R^\dagger R \ket{k}
\\&=(E_k - E_j) \bra{j} R^\dagger \dot R \ket{k}
\\&=(E_k - E_j) \bra{E_j} \dot R R^\dagger \ket{E_k}.
\end{aligned}$$
Esto implicaría que el si $E_j - E_k$ desaparece, entonces el operador de la norma de $\dot R R^\dagger$ (y por tanto de $\dot R$ sí) va a aumentar sin límite, a menos que la cruz-en términos de $\dot H$ $\ket{E_j}$- base también desaparecen.
Una observación que indica el camino a seguir
La pregunta clave a la hora de considerar la cruz-en términos de $\dot H$ $\ket{E_j}$- base es: ¿cómo se determina que la base para empezar, para evaluar la cruz-términos? Sin ser capaz de resolver por los estados propios de los tiempos de aproximarse al cruce, nos quedamos sólo con el tiempo de la travesía en sí misma — y, fundamentalmente, el autoespacio no es degenerado, lo que significa que sólo porque tenemos una eigenbasis en mente, no lo hace la física elección sensata.
Mi conjetura original (en una edición anterior de la pregunta) no implican el proyector $\Pi$ a $\mathrm{span}\{\ket{E_0},\ket{E_1}\}$. Pero se me ocurrió más tarde que es irrelevante o no $\dot H$ no conmuta con $H$ si esto es debido a que algunos de los otros estados propios de $H$ no son autoestados de $\dot H$. Lo que realmente importa es si $\dot H$ falla, para el cruce de dos autovalores solo (en una manera de hablar), para que conmute con $H$. Así que lo que realmente importa es sólo el subespacio generado por $\ket{E_0}$$\ket{E_1}$, que conduce a la modificación de la conjetura de utilizar el proyector $\Pi$. Pero en el momento de la travesía, $\Pi H = E_0 \Pi$ por ese mismo hecho: en el subespacio, es proporcional a la identidad, que conmuta con todo. De este modo tendremos $$0 = [H, \Pi \dot H] = H \Pi \dot H - \Pi \dot H H = \Pi [H, \dot H].$$ Que es, las condiciones de la conjetura de siempre, el cual debe indicar que la preocupación es por nada.
Adiabático restricción: un dibujo
Si el resto de los valores propios de a $H$ se apartó de $E_0$ $E_1$ por una constante cerca de la travesía, que no me importa el grado en que $\ket{\dot E_j}$ $j \in \{0,1\}$ superpone a la otra vectores propios de a $H$: por el análisis anterior, podemos esperar a que lo hagan por una cantidad finita. Sólo estamos realmente preocupados con la magnitud de $\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$. Así que puede restringir por completo nuestra atención a la efectiva acoplamiento de $\ket{E_0}$$\ket{E_1}$$\dot H$, es decir, que podemos, en efecto, reemplace$\dot H$$\Delta = \Pi \dot H \Pi$.
De haberlo hecho, ahora tenemos, en efecto, una Hermitian operador $\Delta$ sobre un subespacio de dos dimensiones, que, obviamente, se tiene dos vectores propios que abarcan el espacio. Estos son los dos vectores propios $\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$ $\dot H$ $H$ en el paso a nivel, y la cruz-en términos de $\dot H$ entre estos dos vectores es cero cerca del paso a nivel.
Los dos vectores $\ket{\delta_0},\ket{\delta_1}$ no pueden ser vectores propios de a $\dot H$, pero que nos permiten ver que $R^\dagger \dot R$ puede tener delimitada operador de la norma en un barrio de el tiempo $T$ de el paso a nivel, cuando se limita a $\mathrm{span} \{ \ket{E_0}, \ket{E_1} \}$ si $\ket{E_0} = \ket{\delta_0}$ $\ket{E_1} = \ket{\delta_1}$ tiempo $T$. Para $t$ cercanos a $T$, un adiabático argumento podría indicar que $\ket{E_0}$ $\ket{E_1}$ serán en su mayoría no interactúan con el resto de la energía autoestados si la evolución es bastante lento, por lo que esperamos que $\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$ a casi ser vectores propios de a$H$$t \approx T$. No es una cuestión de cuán rápidamente se $\ket{E_j}$ converge a $\ket{\delta_j}$, lo que determina la rapidez con la cruz-términos de $\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$ desaparecer; sin embargo, la gran cruz de términos corresponden a grandes valores propios de a $\Delta \propto \Pi H \Pi + \text{const.}$, lo que debería provocar $R^\dagger \dot R$ rápidamente converge a un operador diagonal en la $\ket{\delta_j}$ -.
Los coeficientes de $R^\dagger \dot R$ para los otros niveles de energía en la energía eigenbasis debe ser limitada, ya sea porque de autovalor huecos entre ellos, o por razones similares, si presentan pasos a nivel de su propio.
Así que no: no debe haber ninguna inestabilidad de la eigenbasis.
