Son estos isomorfo $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}$ y $\mathbb{Z}_{9}^{*}$

Question

Es isomorfo a $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}$ $\mathbb{Z}_{9}^{*}$

ambos tienen órdenes 6

ambos tienen elementos con órdenes 1,2,3,6 (1 elemento de orden 1, 2 elementos de orden 3, 1 elemento de elementos de orden 2 y 2 de orden 6)

Ambos son cíclicos así abeliano

¿Puedo entonces suponer que son isomorfos? ¿O un isomorfismo específico debe ser construido?

Answer 1

Ya tienes el 99% de lo que necesita hacer un isomorfismo de todos modos, así que usted debe :)

Se observó que ambos tienen elementos de orden $6$, para que sean ambos grupos cíclicos de orden 6. Sólo envíe un generador a un generador de la otra y convencerse de que es un isomorfismo.

Answer 2

Sí, los dos grupos son isomorfos. Y usted está casi allí en probar este.

Tenga en cuenta que $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_3 = \mathbb Z_6$, ya que el $\gcd(2, 3) = 1$.

Y dado que la orden de $\mathbb Z^*_9 = 6$ y es cíclica, es decir, sabemos que $\mathbb Z^*_9 \cong \mathbb Z_6$.

No hay necesidad de construir una explícita isomorfismo aquí, aunque lo que necesita (implícita o explícitamente) invocar el siguiente estándar de hecho sobre finito cíclico grupos:

Cada finito grupo cíclico de orden $n$ es isomorfo a $\mathbb Z_n$, el grupo de los enteros bajo, además, modulo $n$.