Prueba de convergencia $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^\sqrt{n}}$

Question

Posible duplicado:
convergencia de una serie que $x^\sqrt{n}$

Prueba de convergencia %#% $de #% mi primer pensamiento fue utilizar la prueba de razón pero no es concluyente ya que cede$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^\sqrt{n}}$.
¿Hay algún medio fácil para probar la suma para la convergencia? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: $n>2^{10}$, Tenemos que $$\sqrt{n}\geq 2\log_2(n),$$ and so for $n > 2 ^ {10}$ $%$ $2^{\sqrt{n}}\geq n^2.$ahora probar con el test de comparación.

Answer 2

$$2^{-\sqrt n}\leqslant\int_{n-1}^n\exp(-\sqrt x\log 2). El % integral $\int_1^{+\infty}\exp(-\sqrt x\log 2)dx$es convergente, mediante la sustitución $s=\sqrt x$. Concluimos por prueba integral, después de haber controlado que podemos usarlo.

Answer 3

Puede dar una respuesta rápida en comparación con la serie $\sum_{n\geq 1}1/n^2$.

Compruebe que el $\lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 /2^\sqrt{n}=0$.

Deducir que hay un positivo constante $K$ tal que $\frac{1}{2^\sqrt{n}}\leq\frac{K}{n^2}$ % todos $n\geq 1$.

Concluir en comparación.

Answer 4

Esto puede ser manejado con una prueba de razón de mayor orden, prueba de Raabe. Que $a_n = 1/2^{\sqrt{n}}$. $$\begin{eqnarray*} n\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| - 1\right) &=& n\left(2^{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} - 1\right) \\ &<& n\left(2^{-1/(2\sqrt{n+1})}-1\right) \\ &<& -\frac{n}{4\sqrt{n+1}}\log 2. \end{Eqnarray *}$$ y luego en la segunda a la última línea utilizamos la raíz cuadrada desigualdad $\sqrt{n}-\sqrt{n+1} < -1/(2\sqrt{n+1})$ $n\ge 0$. En la última línea usamos la desigualdad exponencial $e^{-x} < 1-x/2$ $0<x<2+W(-2/e^2) = 1.59362\cdots$. Ahora necesitamos sólo demostramos que \lim_{n\to\infty $$} - \frac{n}{4\sqrt{n+1}}\log 2 < -1.$$

Answer 5

Por lo tanto, podría utilizar la prueba de comparación, que uno daría resultados.