En el conjunto de teorías, donde Continuo Hipótesis es falsa, ¿cuáles son los nuevos sets?

Question

Así, si por ejemplo estamos trabajando con los no-CH matemáticas. Esto significa, AFAIK, que existe al menos un conjunto $S$ en nuestra no-CH matemáticas, cuya cardinalidad es un intermedio entre $|\mathbb{N}|$ (de la tarjeta. de productos naturales) y $|\mathbb{R}|=2^\mathbb{N}$, el continuum.

Pregunta: ¿qué tipo de objetos podemos encontrar en este conjunto $S$?

También: es la matemática radicalmente diferente de aquella en la CH se mantiene?

Específicamente, existen resultados que se utilizan en la vida cotidiana de las matemáticas , en un relativamente nivel introductorio, que no tienen en nuestro no-CH matemáticas.?. Lo que los resultados que encontramos en la vida cotidiana de las matemáticas no podrían mantener en nuestra nueva matemática? Sería, por ejemplo, aún existen en la que no se pueden medir? Tal vez más específicamente: ¿qué resultados dependen de la CH?

Answer 1

A la pregunta de qué sucede cuando los CH no es, por supuesto, intensamente estudiados en la teoría de conjuntos. Hay toda las áreas de investigación, tales como la zona de cardenal características de la continuidad, que se dedican a estudiar lo que sucede con los conjuntos de reales cuando el Continuum Hipótesis de falla.

La lección de gran parte de este análisis es que muchos de los más abiertos y naturales turno de preguntas a ser themselvesd independiente de ZFC, incluso cuando uno quiere CH. Por ejemplo, la cuestión de si todos los conjuntos que son intermedios entre los tamaños de los números naturales y la continuidad debe ser medida de Lebesgue 0, es independiente de ZFC+CH. La cuestión de si sólo los contables de los juegos de continuum muchos subconjuntos es independiente de ZFC+CH. Hay un número de cardenal características que menciono aquí, cuya verdadera naturaleza se convierte en aparente sólo cuando CH falla. Por ejemplo, deben cada ilimitado de la familia de funciones de ω ω tiene el tamaño de la continuidad? Es independiente de ZFC+CH. Debe cada dominando la familia de tales funciones tienen el tamaño de continuo? Es independiente de ZFC+CH. Aquellos pregunta son relativamente simples de estado y que fácilmente podría ser considerado parte de la "normal" de las matemáticas.

Sin embargo, gran parte del resto de lo que se podría pensar de como ordinario de la matemática es simplemente no se ven afectados por CH o no CH. En particular, la existencia de no-medibles establece que usted ha mencionado es demostrable en ZFC, sea o no CH sostiene. (Esta prueba requiere el uso del Axioma de Elección, sin embargo, a menos que grandes cardenales son inconsistentes, un resultado demostrado por Solovay y Sela.)

Sin embargo, hay un creciente cuerpo de investigación sobre algunos de los sofisticados axiomas de la teoría de conjuntos se llama obligando a los axiomas, que tienen fuertes consecuencias, y muchos de estos nuevos axiomas implican el fracaso de CH. Este tema empezó con el Axioma de Martin MA_ω1, y se ha continuado con la Adecuada Obligando Axioma, el de Martin Máximo y ahora muchas otras variaciones.

Por último, en el título se preguntó lo que son los nuevos conjuntos similares. La consistencia de la insuficiencia de la Hipótesis continua fue demostrado por Paul Cohen con el método de forzamiento. Esta muy sofisticado y versátil método ahora se utiliza intensamente en la teoría de conjuntos, y es pensado como un método fundamental de la construcción de modelos de la teoría de conjuntos, compartiendo muchas afinidades con los métodos de construcción en el álgebra, tales como la construcción de la algebraicas y trascendentales campo de extensiones. Cohen construido un modelo de ZFC+ CH comenzar con un modelo V de ZFC+CH, y, a continuación, utilizando el método de forzar a agregar ω₂ muchos de los nuevos números reales para construir el forzamiento de la extensión de V[G]. Dado que V y V[G] tienen los mismos cardenales (por una detallada combinatoria argumento), se sigue que el conjunto de reales en V[G] tiene un tamaño de al menos (de hecho, exactamente) ω₂. En particular, el antiguo conjunto de reales de V, que tenía el tamaño de ω₁, es ahora uno de los conjuntos de reales de tamaño intermedio. Por lo tanto, estos intermedios juegos no son tan misterioso, después de todo!

Answer 2

Usted podría no obtener nuevos conjuntos -- podría obtener menos bijections entre los conjuntos que ya tiene! A veces, conseguir más cardenales significa tener menos series.

Answer 3

CH es una muy sutil pregunta. Para complementar las otras respuestas, voy a explicar brevemente por qué es tan difícil ver los efectos de la CH en matemáticas diarias.

Los cardenales $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son muy diferentes, incluso si ellos son siempre iguales. De hecho, no hay ninguna forma natural para comparar. La mera existencia de una inyección de $\aleph_1$ en $\mathbb{R}$ implica la existencia de un no-medibles conjunto. Así, en el Solovay modelo (donde todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ son medibles) los dos cardenales $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son incomparables. Sin embargo, CH todavía es cierto en el Solovay modelo en el sentido de que no hay conjuntos con un nivel intermedio de cardinalidad entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$.

A pesar de CH aparentemente irrelevante para la vida diaria en matemáticas, se han encontrado muchos usos y es una herramienta común en algunas ramas de las matemáticas. Especialmente en ciertas áreas de análisis funcional. Se utiliza con mayor frecuencia para la construcción de ejemplos o contraejemplos al intentar generalizar el resultado a partir de la separables caso a la no-separables caso. Este tipo de construcciones son generalmente diagonalisation argumentos. Como Joel señaló, estas construcciones a menudo puede ser generalizado para el no-CH caso por el uso de obligar a los axiomas tales como MA o PFA, o más finas argumentos que involucran el cardenal invariantes de la continuidad.

El hecho es que CH es un aparentemente invisibles pregunta para la mayoría de las matemáticas. La razón más profunda detrás de esto reside en el hecho de que la mayoría de los objetos relevantes de las matemáticas son contables o separables. Las clases de objetos y las preguntas acerca de ellos a menudo puede ser formulado utilizando sólo de primer o de segundo orden de los cuantificadores (es decir, el uso de la cuantificación sobre números naturales, los números reales, los conjuntos de números naturales, pero no de cuantificación sobre los conjuntos de los números reales o superior tipo de objetos), incluso si la fórmula natural no es de este tipo. Suponiendo que algunos de los grandes cardenal axiomas (que a menudo no es necesario) de los conjuntos obtenidos de esta manera no puede ser nunca de intermedio de cardinalidad entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$. Por lo tanto, moralmente hablando, CH es virtualmente cierto que la mayoría de los objetos y de las preguntas de matemáticas diarias.

Por supuesto, esta no es la historia completa, hay ejemplos naturales de los objetos que tienen el tamaño de $\aleph_1$. Por ejemplo, Ulm invariantes en Abelian teoría de grupos. Sin embargo, dado que los métodos que conducen a objetos de tamaño $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son radicalmente diferentes, la diferencia entre tales objetos es generalmente de huelga y la comparación de que se trate no incluso surgir.

Entonces, ¿por qué CH una pregunta? Así, en todas las áreas de matemáticas, cuando hay dos maneras completamente diferentes de la construcción de dos objetos de tipo similar, es una manera totalmente natural de la pregunta ¿qué tan lejos esta similitud se va. En este caso, tenemos dos conjuntos diferentes de $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ que son innumerables. La comparación de ellos es completamente natural. Lo que hace la pregunta difícil y muy interesante, es que los conjuntos tienen prácticamente ninguna estructura, por lo que no hay ninguna manera obvia de distinguir $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$.

Answer 4

En general, la gente no asuma CH o no CH, porque es independiente. Sin embargo, algunas de las respuestas en esta pregunta podría ser relevante aquí. Pero, como regla, los resultados de ordinario matemáticas se va a celebrar en el ordinario de matemáticas + CH y ordinario de las matemáticas no + CH, de modo que usted no encontrará mucho a lo largo de las líneas de lo que usted está buscando.

Answer 5

Si AC es cierto, entonces los reales puede ser bien ordenado. Ahora mira en el conjunto de todos los reales de los que sólo han countably muchos predecesores en buen orden. Que tiene cardinalidad $\aleph_1$. Si $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$, entonces el tratado de ejemplo.